独極・QRコード担当の「あじな」です。
今日も行列・明日も行列・・・。人気ラーメン店のように、このサイトも行列ができるほど人気があればいいのですが・・・
今回は行列同士の掛け算の特徴やいくつかの特殊な行列を紹介します。
エラー訂正機能付符号を計算する際にも出てくる行列なので、頑張って覚えましょう。
でも、行列同士の掛け算の場合は事情が変わります。掛け算の前後を入れ替えると答えが変わります。
例えば、次の二つの掛け算を見てください。
$$ \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
結果がちがいますね。。そもそも、2番目の式は、2行1列×2行2列なので、「掛け算」ができませんね。(「左側の行列」の「列数」と「右側の行列」の「行数」が一致しないので）
普通の数字と違って、「行列の掛け算」は左右が逆転すると、「掛け算」の結果が(さらには「掛け算」の可能・不可能まで！)変わってしまうのです。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ このような、左上から、右下までの斜めの部分が全部「1」で、あとは全部「0」のような行列を「単位行列」と呼びます。
この「行列」は「特殊なチカラ」を持っていて、どんな行列でも、「単位行列」を掛け算した結果は元の行列のままになるというチカラです。
これは数字の「1」のようなもんです。数字の「1」も、「\(1 \times 5=5\)」といったように、「掛け算」の結果に影響を与えないですよね。
単位行列の具体的な計算は次の例を見てください。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ 7 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \times 5 + 0 \times 3 + 0 \times 7 & 1 \times 2 + 0 \times 1 + 0 \times 12\\0 \times 5 + 1 \times 3 + 0 \times 7 & 0 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 12\\ 0 \times 5 + 0 \times 3 + 1 \times 7 & 0 \times 2 + 0 \times 1 + 1 \times 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ 7 & 12\end{pmatrix} $$
「百聞は一見に如かず」なので、まずは実例を見ましょう。
$$ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 3 + 5 \times -1 & 2 \times -5 + 5 \times 2 \\ 1 \times 3 + 3 \times -1 & 1 \times -5 + 3 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ ほら、「単位行列」が生まれたでしょ。
\(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)の立場から見ると、\(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)のチカラで「単位行列」に変身したように見えるし、逆に、\(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)の立場から見ると、\(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)のチカラで「単位行列」に変身したようにも見えます。
こういった、ある行列に掛け算した結果が「単位行列」になる行列のことを「(ある行列の)逆行列」と呼びます。
数字の正解でも、\(5 \times 0.2 = 1\)といったように、掛け算すると「1」が生み出されるものがありますよね。
こういった数字のことを「逆数」と呼ぶので、そのことにちなんで「逆行列」と呼ぶみたいですよ
この逆行列は、各行列事に決まっていて、中には逆行列を持たない行列もあります。(今後、詳しく解説していきます)
さぁ、これで行列の四則演算の基礎は終了です。
次からは・・・。世にも奇妙な「行列式」の世界です。
今日も行列・明日も行列・・・。人気ラーメン店のように、このサイトも行列ができるほど人気があればいいのですが・・・
今回は行列同士の掛け算の特徴やいくつかの特殊な行列を紹介します。
エラー訂正機能付符号を計算する際にも出てくる行列なので、頑張って覚えましょう。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1～40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1～40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
行列の掛け算は、順番を変えると、結果も変わっちゃう
普通の数字の掛け算だと、\(4 \times 5=20\)と、\(5 \times 4=20\)の答えは一緒ですよね。つまり、掛け算の数字を入れ替えても答えは変わりません。でも、行列同士の掛け算の場合は事情が変わります。掛け算の前後を入れ替えると答えが変わります。
例えば、次の二つの掛け算を見てください。
$$ \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} $$ $$ \begin{pmatrix} 9 \\ 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$
結果がちがいますね。。そもそも、2番目の式は、2行1列×2行2列なので、「掛け算」ができませんね。(「左側の行列」の「列数」と「右側の行列」の「行数」が一致しないので）
普通の数字と違って、「行列の掛け算」は左右が逆転すると、「掛け算」の結果が(さらには「掛け算」の可能・不可能まで！)変わってしまうのです。
掛け算しても結果が変わらない「1」みたいな行列がある
次に、不思議な「行列」を紹介します。こんな行列を見てください。$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ このような、左上から、右下までの斜めの部分が全部「1」で、あとは全部「0」のような行列を「単位行列」と呼びます。
この「行列」は「特殊なチカラ」を持っていて、どんな行列でも、「単位行列」を掛け算した結果は元の行列のままになるというチカラです。
これは数字の「1」のようなもんです。数字の「1」も、「\(1 \times 5=5\)」といったように、「掛け算」の結果に影響を与えないですよね。
単位行列の具体的な計算は次の例を見てください。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ 7 & 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \times 5 + 0 \times 3 + 0 \times 7 & 1 \times 2 + 0 \times 1 + 0 \times 12\\0 \times 5 + 1 \times 3 + 0 \times 7 & 0 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 12\\ 0 \times 5 + 0 \times 3 + 1 \times 7 & 0 \times 2 + 0 \times 1 + 1 \times 12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 2\\ 3 & 1\\ 7 & 12\end{pmatrix} $$
単位行列を生み出すチカラ
「単位行列」は、「掛け算」しても結果に影響を与えないチカラを持っていましたが、次に紹介する「チカラ」は・・・。「単位行列を産み出すチカラ」です。「百聞は一見に如かず」なので、まずは実例を見ましょう。
$$ \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \times 3 + 5 \times -1 & 2 \times -5 + 5 \times 2 \\ 1 \times 3 + 3 \times -1 & 1 \times -5 + 3 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$ ほら、「単位行列」が生まれたでしょ。
\(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)の立場から見ると、\(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)のチカラで「単位行列」に変身したように見えるし、逆に、\(\begin{pmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)の立場から見ると、\(\begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)のチカラで「単位行列」に変身したようにも見えます。
こういった、ある行列に掛け算した結果が「単位行列」になる行列のことを「(ある行列の)逆行列」と呼びます。
数字の正解でも、\(5 \times 0.2 = 1\)といったように、掛け算すると「1」が生み出されるものがありますよね。
こういった数字のことを「逆数」と呼ぶので、そのことにちなんで「逆行列」と呼ぶみたいですよ
この逆行列は、各行列事に決まっていて、中には逆行列を持たない行列もあります。(今後、詳しく解説していきます)
さぁ、これで行列の四則演算の基礎は終了です。
次からは・・・。世にも奇妙な「行列式」の世界です。