こんちはっす。独極・QRコード担当の「あじな」です。
そろそろ、暴動が起こりそうなぐらい、長くなってしまいましたね。ご安心ください。今回が最後です！！
といっても、もう少しだけ「行列」の解説は続いてしまうのですが・・・。
$$ \displaystyle \sum_{ i_{1} = 1 }^{ n } \displaystyle \sum_{ i_{2} = 1 }^{ n } \ldots \displaystyle \sum_{ i_{n} = 1 }^{ n } b_{ i_{1},1 } \times b_{ i_{2},2 } \times \ldots \times b_{ i_{n},n } \times sign(i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n}) \times \left| \mathbf{A} \right| $$ ここで、\(sign(i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n})\)はもし、\((i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n})\)が遇置換なら「+1」、奇置換ならば「-1」となるものです。
えらい、長い道のりですね・・・。
といっても、単純に\(i_{x}\)の部分に、1〜nの数字を当てはめていけばよいだけです。
ここで、\(i_{1}\)に、「1」をあてはめたら、\(i_{2}\)〜\(i_{n}\)には「1」を当てはめることができないことに注意してくださいね。
$$ b_{ 1,1 } \times b_{ 2,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(1 , 2 , \ldots , n) \times \left| \mathbf{A} \right| + \\ b_{ 2,1 } \times b_{ 1,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(2 , 1 , \ldots , n) \times \left| \mathbf{A} \right| + \\ \vdots \\ b_{ n,1 } \times b_{ n-1,2 } \times \ldots \times b_{ 1,n } \times sign(n , n-1 , \ldots , 1) \times \left| \mathbf{A} \right| $$ となります。
さらに、全項に「\(\times \left| \mathbf{A} \right|\)」がくっついているので、括りだすと次のようになります。
$$ \left| \mathbf{A} \right| \times (b_{ 1,1 } \times b_{ 2,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(1 , 2 , \ldots , n) + \\ b_{ 2,1 } \times b_{ 1,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(2 , 1 , \ldots , n) + \\ \vdots \\ b_{ n,1 } \times b_{ n-1,2 } \times \ldots \times b_{ 1,n } \times sign(n , n-1 , \ldots , 1)) $$ おっ！！むむむっ！！！！！
ここででてくる「( )」の中の\(b_{x,y}\)の「掛け算」に注目すると、「1列目から好きな行をとってきて、2列目から好きな行をとってきて・・・・n列目から好きな行をとってきて全部「掛け算」したものに、とってきた行の番号の並びが遇置換か奇置換かを判断して+、-の符号をつける」というやつになってませんか？
さらに、さらに、上の式ではそれを全パターンで足し合わせています。
これは・・・・\(\mathbf{B}\)の行列式ですね。
おぉ！！！！！！
ということは、上の式はシンプルに次のように書けます。
$$ \left| \mathbf{A} \right| \times \left| \mathbf{B} \right| $$
つまり、はこういうことですね。
$$ \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| = \left| \mathbf{A} \right| \times \left| \mathbf{B} \right| $$ はぁ。やっと終わりました。こんなシンプルなやつを確かめるだけで5回分の解説をつかってしまいました。
こんなに苦労したんだから、結果はちゃんと覚えておきましょう！！
そろそろ、暴動が起こりそうなぐらい、長くなってしまいましたね。ご安心ください。今回が最後です！！
といっても、もう少しだけ「行列」の解説は続いてしまうのですが・・・。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
前回までのあらすじ
\(\left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right|\)を計算していくと、次のようにかけることがわかりました。$$ \displaystyle \sum_{ i_{1} = 1 }^{ n } \displaystyle \sum_{ i_{2} = 1 }^{ n } \ldots \displaystyle \sum_{ i_{n} = 1 }^{ n } b_{ i_{1},1 } \times b_{ i_{2},2 } \times \ldots \times b_{ i_{n},n } \times sign(i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n}) \times \left| \mathbf{A} \right| $$ ここで、\(sign(i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n})\)はもし、\((i_{1} , i_{2} , \ldots , i_{n})\)が遇置換なら「+1」、奇置換ならば「-1」となるものです。
えらい、長い道のりですね・・・。
最後の一息
さぁ、最後の力を振り絞って、先ほどの式の\(\displaystyle \sum_{ i_{x} = 1 }^{ n }\)の部分を展開してみましょう。といっても、単純に\(i_{x}\)の部分に、1〜nの数字を当てはめていけばよいだけです。
ここで、\(i_{1}\)に、「1」をあてはめたら、\(i_{2}\)〜\(i_{n}\)には「1」を当てはめることができないことに注意してくださいね。
$$ b_{ 1,1 } \times b_{ 2,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(1 , 2 , \ldots , n) \times \left| \mathbf{A} \right| + \\ b_{ 2,1 } \times b_{ 1,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(2 , 1 , \ldots , n) \times \left| \mathbf{A} \right| + \\ \vdots \\ b_{ n,1 } \times b_{ n-1,2 } \times \ldots \times b_{ 1,n } \times sign(n , n-1 , \ldots , 1) \times \left| \mathbf{A} \right| $$ となります。
さらに、全項に「\(\times \left| \mathbf{A} \right|\)」がくっついているので、括りだすと次のようになります。
$$ \left| \mathbf{A} \right| \times (b_{ 1,1 } \times b_{ 2,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(1 , 2 , \ldots , n) + \\ b_{ 2,1 } \times b_{ 1,2 } \times \ldots \times b_{ n,n } \times sign(2 , 1 , \ldots , n) + \\ \vdots \\ b_{ n,1 } \times b_{ n-1,2 } \times \ldots \times b_{ 1,n } \times sign(n , n-1 , \ldots , 1)) $$ おっ！！むむむっ！！！！！
ここででてくる「( )」の中の\(b_{x,y}\)の「掛け算」に注目すると、「1列目から好きな行をとってきて、2列目から好きな行をとってきて・・・・n列目から好きな行をとってきて全部「掛け算」したものに、とってきた行の番号の並びが遇置換か奇置換かを判断して+、-の符号をつける」というやつになってませんか？
さらに、さらに、上の式ではそれを全パターンで足し合わせています。
これは・・・・\(\mathbf{B}\)の行列式ですね。
おぉ！！！！！！
ということは、上の式はシンプルに次のように書けます。
$$ \left| \mathbf{A} \right| \times \left| \mathbf{B} \right| $$
ついに、グランドフィナーレ！！
はじめは\(\left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| \)から計算を始めたのですが、最後には\(\left| \mathbf{A} \right| \times \left| \mathbf{B} \right|\)になりました。つまり、はこういうことですね。
$$ \left| \mathbf{A} \times \mathbf{B} \right| = \left| \mathbf{A} \right| \times \left| \mathbf{B} \right| $$ はぁ。やっと終わりました。こんなシンプルなやつを確かめるだけで5回分の解説をつかってしまいました。
こんなに苦労したんだから、結果はちゃんと覚えておきましょう！！