独極・QRコード担当の「あじな」です。 学校や会社など、どの場所にいっても一人は気があうやつがいるものです。今日解説する「逆行列」もそんな気が合う友達みたいなものです。
「QRコード」を解説しているのに、いつの間にか「行列」の解説をしている。。。そんな微妙な「解説」も残すところあと少し！！なのです。

これまでの復習 [表示する]

1. QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
2. QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
3. 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
4. QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
5. 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
6. 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
7. 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
8. 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
9. 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
10. QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
11. 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
12. 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
13. 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
14. 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
15. QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
16. どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
17. QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
18. 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
19. 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
20. 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
21. 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
22. 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
23. 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
24. 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
25. 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
26. 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
27. 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
28. 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
29. 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
30. 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
31. 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
32. 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
33. 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
34. 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
35. 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
36. 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
37. 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
38. 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
39. ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
40. ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
41. ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
42. 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
43. 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である

気が合う友達。それが逆行列！

さぁ、今日から行列シリーズ最後のテーマ。「逆行列」を解説していきます。
「逆行列」は、「掛け算す」ると「1」みたいな意味をもつ「単位行列」を生み出す「行列」です。
早速例をみてみましょう。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{pmatrix} $$ この「行列」の、「逆行列」探しましょう。いきなりですが、ずばり、答えを言うと次の「行列」になります！
$$ \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{ 3 }{ 2 } & \frac{ -1 }{ 2 }\\ \end{pmatrix} $$ 「掛け算」をして、「単位行列」になるか確かめてみましょう。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac{ 3 }{ 2 } & \frac{ -1 }{ 2 }\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times -2 + 2 \times \frac{ 3 }{ 2 } & 1 \times 1 + 2 \times \frac{ -1 }{ 2 } \\ 3 \times -2 + 4 \times \frac{ 3 }{ 2 } & 3 \times 1 + 4 \times \frac{ -1 }{ 2 } \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix} $$ 見事に、最後に「1」みたいな「単位行列」がでてきましたね。
ところで、この「逆行列」はどんな「行列」に対しても存在するのでしょか？

「逆行列」の存在条件

現実の世界でも、気の合う友達がいるときと、いないときがあります。
実は、「行列」の世界でも「逆行列」がある場合とない場合があるんです。

まず、「正方行列(←行数と列数が同じ正方形のような行列ですよ！)」でないと「逆行列」は存在しません。 そして、「行列式」の値が「0」の「行列」にも「逆行列」が存在しません。
では、次回から、「逆行列」の作り方を解説していきましょう。ゴールはもうすぐ！もう一息がんばりましょう！