独極・QRコード担当の「あじな」です。
数字上の関係性を解説しても、人間関係上の関係性は改善されません。数学のように人間関係もすっきりと式で表現できれば簡単なのに・・・・
では、もう一度「エラー訂正機能付符号」と「検査行列」の関係を書いてみます。
$$ \begin{pmatrix} w_{1} & w_{2} & w_{3} & \cdots & w_{n-2} & w_{n-1} & w_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m-2} & a_{1,m-1} & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m-2} & a_{2,m-1} & a_{2,m}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,m-2} & a_{3,m-1} & a_{3,m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n-2,1} & a_{n-2,2} & a_{n-2,3} & \cdots & a_{n-2,m-2} & a_{n-2,m-1} & a_{n-2,m}\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1,m-2} & a_{n-1,m-1} & a_{n-1,m}\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,m-2} & a_{n,m-1} & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ この、左辺(左側の式)の「行列」の「掛け算」を展開してみましょうか。面倒くさい・・・っていわずに、がんばりましょう！
地道にやってみましょう。左辺を展開すると次のようになります。ちなみに掛け算マーク「\(\times\)」があると式が醜く・・・見難くなるので点(\(\cdot\))で表現しました。
(\(w_{1} \times a_{1,1}\)は\(w_{1} \cdot a_{1,1}\)と書きます)
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_{1} \cdot a_{1,1} + w_{2} \cdot a_{2,1} + w_{3} \cdot a_{3,1} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,1} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,1} + w_{n} \cdot a_{n,1}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,2} + w_{2} \cdot a_{2,2} + w_{3} \cdot a_{3,2} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,2} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,2} + w_{n} \cdot a_{n,2}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,3} + w_{2} \cdot a_{2,3} + w_{3} \cdot a_{3,3} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,3} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,3} + w_{n} \cdot a_{n,3}=0\\ \vdots\\ w_{1} \cdot a_{1,m-2} + w_{2} \cdot a_{2,m-2} + w_{3} \cdot a_{3,m-2} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m-2} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m-2} + w_{n} \cdot a_{n,m-2}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,m-1} + w_{2} \cdot a_{2,m-1} + w_{3} \cdot a_{3,m-1} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m-1} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m-1} + w_{n} \cdot a_{n,m-1}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,m} + w_{2} \cdot a_{2,m} + w_{3} \cdot a_{3,m} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m} + w_{n} \cdot a_{n,m}=0\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 見るだけで吐き気がしますね。
でも、安心してください。この数式を「解く」なんて無謀な行為はしませんから。では、この数式をじーーーっとみてください。
\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)を「連立方程式」の未知数だと思ってください。(\(x+y+z=12\)のときの(\(x,y,z\))のようなもので、値がわからないものです)
\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)は全部似ている「\(w\)」の仲間のように見えますが、例えば\(w_{1}\)と\(w_{2}\)はまったく別物(\(x\)や\(y\)のような)です。
そして、\(a_{1,1} , a_{1,2} , a_{1,3} , \cdots , a_{1,m-2} , a_{1,m-1} , a_{1,m}\)は数字の5や2のような、値が決まっている数字だと思ってください。
そうすると、先ほどの化け物数式は、\(w_{1}\)や\(w_{2}\)などの値の決まっていない未知数がn個あって、数式の数はm個ある方程式になります。
0 方程式がm個あるときには、m個の未知数を計算で決めることができます。
つまり、上の方程式では\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)のうち、「m個」までは値が決まってしまうということです。
このことをよーく考えると、全部でn個あるうち、m個が決まってしまうので、自由に決めれる未知数の数は最大で「n-m」個となります。
ここで、しれっと「最大で」と書いたのは、数式上では未知数の「n-m」個を自由に決めてよいのですが、「符号」を作るうえで他の事情で「n-m」個未満に「わざと」することもあるんです。
例えば、「符号」として「00」「01」「10」「11」が許されていたとしても、「今回の符号では3種類の文字しか表さないから「00」は符号語として採用しない」と決めることもできます。
だから、しれっと「最大」という言葉をつけました。
「連立方程式」の数がm個だとm個の未知数が求められるといいましたが、ちょっと前に解説した「行列」の「ランク」を想い出してください。
m個の「連立方程式」の中にも、実は「質の低い」方程式(他の方程式の足し引きでで生まれる式)が混じっていればm個よりも少ない未知数しか求めることができないということを解説しましたね。
そのため、n行m列の「検査行列」のランクが「x」だった場合、「x個」の未知数しか求めることができないため、自由に決められる未知数の数は「n-x」になります。
つまり、\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)のうち、自由に「単語を表現する」ことに使える桁数は「n-(検査行列のランク)」桁なんです。
大体、世の中で流行している「検査行列」の「ランク」は「検査行列」の「行数」と同じ「m」になることが多いので、ほとんどの場合、自由に「単語を表現する」ことに使える桁数は「n-m」となることが多いです。
このことを「検査行列」との関係でみると、「検査行列」をn行m列だとすると、「k」は最大でも「n-(検査行列のランク)」になります。
さぁ、最後に検査行列と「d」の関係を見ていきましょう。
数字上の関係性を解説しても、人間関係上の関係性は改善されません。数学のように人間関係もすっきりと式で表現できれば簡単なのに・・・・
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
- 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)\(\times\)(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
- 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
- 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
- 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
- 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
- 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
- エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
- エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
「k」と検査行列
「k」は実質的に単語を表現できる桁数でした。 「エラー訂正機能付符号」の全体の桁数は「n」でしたが、この桁数は「エラー訂正機能」のために使われる桁数と、「単語を表現する」ために使われる桁数に分かれるのでした。では、もう一度「エラー訂正機能付符号」と「検査行列」の関係を書いてみます。
$$ \begin{pmatrix} w_{1} & w_{2} & w_{3} & \cdots & w_{n-2} & w_{n-1} & w_{n} \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \cdots & a_{1,m-2} & a_{1,m-1} & a_{1,m}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \cdots & a_{2,m-2} & a_{2,m-1} & a_{2,m}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \cdots & a_{3,m-2} & a_{3,m-1} & a_{3,m}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n-2,1} & a_{n-2,2} & a_{n-2,3} & \cdots & a_{n-2,m-2} & a_{n-2,m-1} & a_{n-2,m}\\ a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1,m-2} & a_{n-1,m-1} & a_{n-1,m}\\ a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \cdots & a_{n,m-2} & a_{n,m-1} & a_{n,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ この、左辺(左側の式)の「行列」の「掛け算」を展開してみましょうか。面倒くさい・・・っていわずに、がんばりましょう！
「行列」の「掛け算」をやってみよう。
行列の掛け算の方法はこれまでに解説しましたね。地道にやってみましょう。左辺を展開すると次のようになります。ちなみに掛け算マーク「\(\times\)」があると式が醜く・・・見難くなるので点(\(\cdot\))で表現しました。
(\(w_{1} \times a_{1,1}\)は\(w_{1} \cdot a_{1,1}\)と書きます)
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_{1} \cdot a_{1,1} + w_{2} \cdot a_{2,1} + w_{3} \cdot a_{3,1} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,1} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,1} + w_{n} \cdot a_{n,1}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,2} + w_{2} \cdot a_{2,2} + w_{3} \cdot a_{3,2} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,2} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,2} + w_{n} \cdot a_{n,2}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,3} + w_{2} \cdot a_{2,3} + w_{3} \cdot a_{3,3} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,3} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,3} + w_{n} \cdot a_{n,3}=0\\ \vdots\\ w_{1} \cdot a_{1,m-2} + w_{2} \cdot a_{2,m-2} + w_{3} \cdot a_{3,m-2} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m-2} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m-2} + w_{n} \cdot a_{n,m-2}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,m-1} + w_{2} \cdot a_{2,m-1} + w_{3} \cdot a_{3,m-1} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m-1} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m-1} + w_{n} \cdot a_{n,m-1}=0\\ w_{1} \cdot a_{1,m} + w_{2} \cdot a_{2,m} + w_{3} \cdot a_{3,m} + \cdots + w_{n-2} \cdot a_{n-2,m} + w_{n-1} \cdot a_{n-1,m} + w_{n} \cdot a_{n,m}=0\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ 見るだけで吐き気がしますね。
でも、安心してください。この数式を「解く」なんて無謀な行為はしませんから。では、この数式をじーーーっとみてください。
\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)を「連立方程式」の未知数だと思ってください。(\(x+y+z=12\)のときの(\(x,y,z\))のようなもので、値がわからないものです)
\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)は全部似ている「\(w\)」の仲間のように見えますが、例えば\(w_{1}\)と\(w_{2}\)はまったく別物(\(x\)や\(y\)のような)です。
そして、\(a_{1,1} , a_{1,2} , a_{1,3} , \cdots , a_{1,m-2} , a_{1,m-1} , a_{1,m}\)は数字の5や2のような、値が決まっている数字だと思ってください。
そうすると、先ほどの化け物数式は、\(w_{1}\)や\(w_{2}\)などの値の決まっていない未知数がn個あって、数式の数はm個ある方程式になります。
0 方程式がm個あるときには、m個の未知数を計算で決めることができます。
つまり、上の方程式では\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)のうち、「m個」までは値が決まってしまうということです。
このことをよーく考えると、全部でn個あるうち、m個が決まってしまうので、自由に決めれる未知数の数は最大で「n-m」個となります。
ここで、しれっと「最大で」と書いたのは、数式上では未知数の「n-m」個を自由に決めてよいのですが、「符号」を作るうえで他の事情で「n-m」個未満に「わざと」することもあるんです。
例えば、「符号」として「00」「01」「10」「11」が許されていたとしても、「今回の符号では3種類の文字しか表さないから「00」は符号語として採用しない」と決めることもできます。
だから、しれっと「最大」という言葉をつけました。
罠にはまるな！「ランク」があるぞ！！
上の解説には、一つだけ「甘い罠」があります。「連立方程式」の数がm個だとm個の未知数が求められるといいましたが、ちょっと前に解説した「行列」の「ランク」を想い出してください。
m個の「連立方程式」の中にも、実は「質の低い」方程式(他の方程式の足し引きでで生まれる式)が混じっていればm個よりも少ない未知数しか求めることができないということを解説しましたね。
そのため、n行m列の「検査行列」のランクが「x」だった場合、「x個」の未知数しか求めることができないため、自由に決められる未知数の数は「n-x」になります。
つまり、\(w_{1},w_{2},w_{3},\cdots,w_{n-2},w_{n-1},w_{n}\)のうち、自由に「単語を表現する」ことに使える桁数は「n-(検査行列のランク)」桁なんです。
大体、世の中で流行している「検査行列」の「ランク」は「検査行列」の「行数」と同じ「m」になることが多いので、ほとんどの場合、自由に「単語を表現する」ことに使える桁数は「n-m」となることが多いです。
このことを「検査行列」との関係でみると、「検査行列」をn行m列だとすると、「k」は最大でも「n-(検査行列のランク)」になります。
さぁ、最後に検査行列と「d」の関係を見ていきましょう。