独極・QRコード担当の「あじな」です。
ついに、リード・ソロモン符号を使った復号の説明に入りました！
前置きが長すぎて、飽きてしまった人！ここからぐいぐいQRコードに近づきますよ。
って、まだ具体的なリード・ソロモン符号の使い方がわからないですよね。
これからの解説では、リード・ソロモン符号を使ったエラー訂正の方法（復号の方法）と、リード・ソロモン符号の作り方について解説していきます！
(突然、メールでn個の数字が送られてきたという非常に不自然な状況を想像してみてください・・・。)
手元に来たメッセージは「\((y_0,y_1,y_2,\cdots , y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1})\)」（本当は、10とか19とか具体的な数字だけど、ここではyで表現しちゃいました）としましょう。
最後のyの右下に書いてある番号が「n-1」なので間違えやすいですが、0から始まっているので、これはn個の数字です。
これが、「リード・ソロモン符号」ということなので、このメッセージと検査行列を掛け算するとゼロ行列になるはずです。
えっ！？また、リード・ソロモン符号の検査行列を忘れた？もー、しかたがないなぁ。これですよ。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ 毎回、この検査行列を書くのはしんどいので、\(\boldsymbol{H}\)というように表現させてください。(といっても、元の行列は忘れないでくださいね)
そして、受け取ったメッセージも、毎回\(y_0\)・・・と書くのは大変なので、\(\boldsymbol{Y}\)と表現させてください。(1行n列の行列です)
ということは、先ほどの「掛け算するとゼロ行列になる」という件を数式で書くとこうなります。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0} $$ ちなみに、\(\boldsymbol{0}\)は要素がすべて0のゼロ行列（今回の場合は、1行2t列のゼロ行列）になります。
ふーーん。ま、リード・ソロモン符号をその検査行列を掛け算したらゼロ行列になるって、当たり前だよね。なんか楽しい？
ふっ、ふっ、ふっ。そんなに世の中単純ではないんですね。ここで登場するのが「エラー」です。
でも、送信者が送ろうと思ったn桁のメッセージ（これを、「\((x_0,x_1,x_2,\cdots , x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1})\)」としましょう）と、あなたが受け取ったメッセージ\(\boldsymbol{Y}\)が異なっている場合もあるはずです。
例えば、送信者がメッセージを送る際に入力し間違えるとか、メッセージを送っている最中に停電がおきて、メッセージの一部が遅れなかったとか・・・といった理由でこういうことが起きるのです。
ちなみに、\(x_0\)・・・と書くのは大変なので、\(\boldsymbol{X}\)と表現させてください。(1行n列の行列です)
このような、送信者が送ろうとしたメッセージが変わってしまうことを「エラーが発生する」と呼びます。
送信者が送った\(\boldsymbol{X}\)はリード・ソロモン符号だったのですが、それにエラーが発生してしまった\(\boldsymbol{Y}\)はもはやリード・ソロモン符号ではありません。
ということは「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0}\)」が成り立たない可能性があるのです。
ということは、もし不幸にも「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0}\)」が成り立たなかったら、何らかのエラーが発生したということがわかるんです！！！
でも、具体的にどんなエラーが発生しているのか、わからないでしょうか？
これは、もともと送信する予定だった\(x\)というメッセージにエラー(\(e\))が加わるというように解釈できます。（先ほどの例では、5というメッセージに2というエラーが加わる）
このことを記号であらわすと、受信者が受け取るメッセージと、送信者が送るメッセージの関係は次のように書くことができます。
$$ (y_0,y_1,y_2,\cdots , y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1})=(x_0+e_0,x_1+e_1,x_2+e_2,\cdots , x_{n-3}+e_{n-3},x_{n-2}+e_{n-2},x_{n-1}+e_{n-1}) $$ このように書くと、まるで元の符号の要素すべてにエラーが足されているように見えますが、エラーが発生していない部分は\(e=0\)となると思ってください。
どこの部分にエラーが発生するかわからないので、こうやって、全部に\(e\)を足しているのです。
ちなみに、先ほどの式をシンプルに書くと次のようになります。
$$ \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{X} + \boldsymbol{E} $$ さて、ここからが今回の山場です。
受信したメッセージ\(\boldsymbol{Y}\)に、リード・ソロモンの検査行列\boldsymbol{H}を掛け算するとどうなるでしょうか？
数式に書いて確かめてみましょう。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = (\boldsymbol{X} + \boldsymbol{E}) \times \boldsymbol{H} $$ とかけます。
このごき、右辺の\((\boldsymbol{X} + \boldsymbol{E}) \times \boldsymbol{H}\)は、分配の法則を使うと次のように書けます。
$$ \boldsymbol{X} \times \boldsymbol{H} + \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$ そして、この式に現れる「\(\boldsymbol{X} \times \boldsymbol{H}\)」はリード・ソロモン符号（\(\boldsymbol{X}\)は送信者が送ったメッセージそのものです）にその検査行列を掛け算しているので、ゼロ行列になるはずです。
ということは、結局、受信メッセージに検査行列を掛け算したものは、次のようになります。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$ なんと、受信した符号にリード・ソロモンの検査行列を掛け算すると、発生したエラーに関する情報が表れてくるんです。
これを手掛かりに、エラーについて詳しくわかりそうじゃないですか？
そして、もしエラー(\(e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1}\))がわかれば、受信符号\(\boldsymbol{H}\)から引き算すれば、元の符号\(\boldsymbol{X}\)を推測することができます。つまり、「エラー訂正」ができるということです。
さて、次回はエラーを求める詳細について解説していきましょう。
ついに、リード・ソロモン符号を使った復号の説明に入りました！
前置きが長すぎて、飽きてしまった人！ここからぐいぐいQRコードに近づきますよ。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
- 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)\(\times\)(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
- 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
- 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
- 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
- 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
- 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
- エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
- エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
- エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
- 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
- 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
- エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
- 「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
- リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が\(\alpha^{(x-1)(y-1)}\)で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
- リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t
- リード・ソロモンの「検査行列」の特徴は、「エラー訂正機能付符号」の「長さ」はn、実質的に単語を表現する桁数)はn-2t、「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」は2t+1
- 「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、行列の要素に同じ値のものがなければ「0」にはならない。
リード・ソロモンの検査行列もわかったし、めでたしめでたし
リード・ソロモンの検査行列についてよくわかった！これで、一件落着？じゃ！って、まだ具体的なリード・ソロモン符号の使い方がわからないですよね。
これからの解説では、リード・ソロモン符号を使ったエラー訂正の方法（復号の方法）と、リード・ソロモン符号の作り方について解説していきます！
リード・ソロモン符号の復号のイメージ
まず、あなたはn桁のリード・ソロモン符号を受け取ったとしましょう。(突然、メールでn個の数字が送られてきたという非常に不自然な状況を想像してみてください・・・。)
手元に来たメッセージは「\((y_0,y_1,y_2,\cdots , y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1})\)」（本当は、10とか19とか具体的な数字だけど、ここではyで表現しちゃいました）としましょう。
最後のyの右下に書いてある番号が「n-1」なので間違えやすいですが、0から始まっているので、これはn個の数字です。
これが、「リード・ソロモン符号」ということなので、このメッセージと検査行列を掛け算するとゼロ行列になるはずです。
えっ！？また、リード・ソロモン符号の検査行列を忘れた？もー、しかたがないなぁ。これですよ。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ 毎回、この検査行列を書くのはしんどいので、\(\boldsymbol{H}\)というように表現させてください。(といっても、元の行列は忘れないでくださいね)
そして、受け取ったメッセージも、毎回\(y_0\)・・・と書くのは大変なので、\(\boldsymbol{Y}\)と表現させてください。(1行n列の行列です)
ということは、先ほどの「掛け算するとゼロ行列になる」という件を数式で書くとこうなります。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0} $$ ちなみに、\(\boldsymbol{0}\)は要素がすべて0のゼロ行列（今回の場合は、1行2t列のゼロ行列）になります。
ふーーん。ま、リード・ソロモン符号をその検査行列を掛け算したらゼロ行列になるって、当たり前だよね。なんか楽しい？
ふっ、ふっ、ふっ。そんなに世の中単純ではないんですね。ここで登場するのが「エラー」です。
エラーがあると、話が違う
これまでの話では、あなたが受信したメッセージ\(\boldsymbol{Y}\)は、当然送信者(あなたの友達かもしれません）が送ったメッセージそのものだと思っていました。でも、送信者が送ろうと思ったn桁のメッセージ（これを、「\((x_0,x_1,x_2,\cdots , x_{n-3},x_{n-2},x_{n-1})\)」としましょう）と、あなたが受け取ったメッセージ\(\boldsymbol{Y}\)が異なっている場合もあるはずです。
例えば、送信者がメッセージを送る際に入力し間違えるとか、メッセージを送っている最中に停電がおきて、メッセージの一部が遅れなかったとか・・・といった理由でこういうことが起きるのです。
ちなみに、\(x_0\)・・・と書くのは大変なので、\(\boldsymbol{X}\)と表現させてください。(1行n列の行列です)
このような、送信者が送ろうとしたメッセージが変わってしまうことを「エラーが発生する」と呼びます。
送信者が送った\(\boldsymbol{X}\)はリード・ソロモン符号だったのですが、それにエラーが発生してしまった\(\boldsymbol{Y}\)はもはやリード・ソロモン符号ではありません。
ということは「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0}\)」が成り立たない可能性があるのです。
ということは、もし不幸にも「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{0}\)」が成り立たなかったら、何らかのエラーが発生したということがわかるんです！！！
でも、具体的にどんなエラーが発生しているのか、わからないでしょうか？
エラーが発生するということをもう少し具体的に・・・
エラーが発生すると、例えば送信者が「5」を送付したのに、受信者が受け取るメッセージは「7」になるということが起こります。これは、もともと送信する予定だった\(x\)というメッセージにエラー(\(e\))が加わるというように解釈できます。（先ほどの例では、5というメッセージに2というエラーが加わる）
このことを記号であらわすと、受信者が受け取るメッセージと、送信者が送るメッセージの関係は次のように書くことができます。
$$ (y_0,y_1,y_2,\cdots , y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1})=(x_0+e_0,x_1+e_1,x_2+e_2,\cdots , x_{n-3}+e_{n-3},x_{n-2}+e_{n-2},x_{n-1}+e_{n-1}) $$ このように書くと、まるで元の符号の要素すべてにエラーが足されているように見えますが、エラーが発生していない部分は\(e=0\)となると思ってください。
どこの部分にエラーが発生するかわからないので、こうやって、全部に\(e\)を足しているのです。
ちなみに、先ほどの式をシンプルに書くと次のようになります。
$$ \boldsymbol{Y} = \boldsymbol{X} + \boldsymbol{E} $$ さて、ここからが今回の山場です。
受信したメッセージ\(\boldsymbol{Y}\)に、リード・ソロモンの検査行列\boldsymbol{H}を掛け算するとどうなるでしょうか？
数式に書いて確かめてみましょう。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = (\boldsymbol{X} + \boldsymbol{E}) \times \boldsymbol{H} $$ とかけます。
このごき、右辺の\((\boldsymbol{X} + \boldsymbol{E}) \times \boldsymbol{H}\)は、分配の法則を使うと次のように書けます。
$$ \boldsymbol{X} \times \boldsymbol{H} + \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$ そして、この式に現れる「\(\boldsymbol{X} \times \boldsymbol{H}\)」はリード・ソロモン符号（\(\boldsymbol{X}\)は送信者が送ったメッセージそのものです）にその検査行列を掛け算しているので、ゼロ行列になるはずです。
ということは、結局、受信メッセージに検査行列を掛け算したものは、次のようになります。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$ なんと、受信した符号にリード・ソロモンの検査行列を掛け算すると、発生したエラーに関する情報が表れてくるんです。
これを手掛かりに、エラーについて詳しくわかりそうじゃないですか？
そして、もしエラー(\(e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1}\))がわかれば、受信符号\(\boldsymbol{H}\)から引き算すれば、元の符号\(\boldsymbol{X}\)を推測することができます。つまり、「エラー訂正」ができるということです。
さて、次回はエラーを求める詳細について解説していきましょう。