独極・QRコード担当の「あじな」です。
早速でてきた、リード・ソロモンの「検査行列」は複雑極まりないものでした・・・
また、解説が長くなっていきそうな予感が・・・はぁ。
じゃないですね。。真面目に計算していきましょう。
もう一度、リード・ソロモンの「検査行列」を書いておきましょう。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ ここで、突然ですが、リード・ソロモンの「検査行列」から好きな行を\(2t\)個取り出してみましょう。
好きな行を取り出すので、「1行目」とか「5行目」とか決めつけるわけにはいかないので、\(j_0\)行目、\(j_1\)行目、\(j_2\)行目、\(\cdots\) 、\(j_{2t-2}\)行目、\(j_{2t-1}\)行目、\(j_{2t}\)行目の行を取り出したとしましょう。(もし、\(j_1\)が10だったら、上から10番目の行を取り出したことになります)
$$ \begin{pmatrix} 1 & \alpha^{j_0-1} & \alpha^{2(j_0-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_0-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_0-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_0-1)} \\ 1 & \alpha^{j_1-1} & \alpha^{2(j_1-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_1-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_1-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_1-1)} \\ 1 & \alpha^{j_2-1} & \alpha^{2(j_2-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_2-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_2-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_2-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{j_{2t-3}-1} & \alpha^{2(j_{2t-3}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-3}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-3}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-3}-1)} \\ 1 & \alpha^{j_{2t-2}-1} & \alpha^{2(j_{2t-2}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-2}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-2}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-2}-1)} \\ 1 & \alpha^{j_{2t-1}-1} & \alpha^{2(j_{2t-1}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-1}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-1}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-1}-1)} \\ \end{pmatrix} $$ あら、まぁ。どんどん複雑になっていきますね。
でも、この「行列」の特徴は、次のようなものになっています。
えっ！？えっ？？？いきなり「ヴぁんで・・・行列？」
まぁ、まぁ、落ち着いてください。「ヴァンデルモンド行列」というのはただの名前ですから、いかついけど気にしないでください。
また、なんで「ヴァンデルモンド行列」の「行列式」が「0」にならないかは次回解説しますから、今はそんなもんだと思ってください。
さて、リード・ソロモンの「検査行列」から好きな行を(\2t\)行取り出した「正方行列」(←ヴァンデルモンド行列)ですが、この中には同じ要素は入っていないですよね？全部\(\alpha\)の右肩にのっかっている数字が違います。
ということは、この行列の「行列式」は0ではないことを意味します。
「行列式」が「0」にならないということは、この「行列」の行を「足したり」「引いたり」してがんばって操作しても全てが0の行が「できない」ということを意味するんでしたね。
ということは、この「行列」の「ランク」の計算に必要な「階段行列」をつくるために、各行を「足したり」「引いたり」しても、すべての要素が「0」になる行は1つもできず、結局ランクは「2t」になります。
では、サイズが2t行2t列の「行列」でランクが「2t」の「行列」を、階段行列に変形するとどんな「行列」になるでしょうか？
$$ \begin{pmatrix} x_{0,0} & x_{0,1} & x_{0,2} & \cdots & x_{0,(2t-3)} & x_{0,(2t-2)} & x_{0,(2t-1)} \\ 0 & x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,(2t-3)} & x_{1,(2t-2)} & x_{1,(2t-1)} \\ 0 & 0 & x_{2,2} & \cdots & x_{2,(2t-3)} & x_{2,(2t-2)} & x_{2,(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{(2t-3),(2t-3)} & x_{(2t-3),(2t-2)} & x_{(2t-3),(2t-1)} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_{(2t-2),(2t-2)} & x_{(2t-2),(2t-1)} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & x_{(2t-1),(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ 「階段行列」は一つ上の行よりも必ず左側の「0」が多くなるようにしなければいけないという性質があります。
さらに、サイズが2t行2t列の「行列」で「ランク」が2tなので、すべての要素が「0」の行は存在しないということになります。(あれば、ランクは2tよりも小さくなるので・・・)
これらの条件を守るためには、絶対、こんな形の階段行列にしかなれないです。
さて、もともとサイズが2n行2t列のリード・ソロモンの「検査行列」から、好きな2t行を取り出した「行列」の各行を「足し算」「引き算」した結果が、先ほどのような「階段行列」になるのでした。
ということは、元の2n行2t列の「検査行列」各行を「足し」「引き」することで、\(2t\)行\(2t\)列の「段行列」の部分と、\((2n-2t)\)行2t列のその他の部分に分けることができます。
さて、\((2n-2t)\)行2t列の部分の各行は、\(2t\)行\(2t\)列の「階段行列」の各行を工夫して「足し」「引き」することにより、すべての要素が0の行にすることができます。
なぜなら、2t行2t列の「階段行列」の1行目に適当な数字をかけると、1列目に好きな数字を生み出すことができます。
次に、「階段行列」の2行目に適当な数字を「掛けて」、先ほどの変形した1行目と「足し算」すると、2列目の部分に好きな数字を生み出すことができます。
このとき、重要なのは、変形した2行目を変形した1行目に「足し算」しても、1行目に適当な数字を「掛けて」作った1列目の数字には影響を与えないということです。
(だって、2行目の1列目は「0」だから当たり前ですよね)
同じことを繰り返すと、3列目、4列目・・・・2t-1列目まで好きな数字にすることができます。
ということは、この「階段行列」の各行を「足し」「引き」することでどんな要素の行でも作り出せるので、\((2n-2t)\)行2t列の部分の各行は、2t行2t列の「階段行列」の各行を工夫して「足し」「引き」することにより、すべての要素が0の行にすることができるんです。
・・・や、ややこしい。で、結局なんなの？
もう少しで終わりますんで我慢してください。
これまでのことをまとめると、リード・ソロモンの「検査行列」の各行を「足し」「引き」して操作することで、2t行の「階段行列」を作ることができ、その他の行は全て要素が0の行にすることができるということがわかりました。
ということは、リード・ソロモンの「検査行列」の「ランク」は「2t」ということになりますね。
ふーー。ようやく、ランクがわかりました！
次は、ちょっと寄り道して、「ヴァンデルモンド行列」の行列式がなぜ「0」にならないかを解説します。
早速でてきた、リード・ソロモンの「検査行列」は複雑極まりないものでした・・・
また、解説が長くなっていきそうな予感が・・・はぁ。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
- 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)\(\times\)(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
- 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
- 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
- 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
- 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
- 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
- エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
- エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
- エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
- 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
- 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
- エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
- 「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
- リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が\(\alpha^{(x-1)(y-1)}\)で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
リード・ソロモンの「検査行列」のラ・ン・ク
まぁ、ラ・ン・クだなんて、可愛らし。うふっ。じゃないですね。。真面目に計算していきましょう。
もう一度、リード・ソロモンの「検査行列」を書いておきましょう。
$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ ここで、突然ですが、リード・ソロモンの「検査行列」から好きな行を\(2t\)個取り出してみましょう。
好きな行を取り出すので、「1行目」とか「5行目」とか決めつけるわけにはいかないので、\(j_0\)行目、\(j_1\)行目、\(j_2\)行目、\(\cdots\) 、\(j_{2t-2}\)行目、\(j_{2t-1}\)行目、\(j_{2t}\)行目の行を取り出したとしましょう。(もし、\(j_1\)が10だったら、上から10番目の行を取り出したことになります)
$$ \begin{pmatrix} 1 & \alpha^{j_0-1} & \alpha^{2(j_0-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_0-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_0-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_0-1)} \\ 1 & \alpha^{j_1-1} & \alpha^{2(j_1-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_1-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_1-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_1-1)} \\ 1 & \alpha^{j_2-1} & \alpha^{2(j_2-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_2-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_2-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_2-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{j_{2t-3}-1} & \alpha^{2(j_{2t-3}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-3}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-3}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-3}-1)} \\ 1 & \alpha^{j_{2t-2}-1} & \alpha^{2(j_{2t-2}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-2}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-2}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-2}-1)} \\ 1 & \alpha^{j_{2t-1}-1} & \alpha^{2(j_{2t-1}-1)} & \cdots & \alpha^{(2t-3)(j_{2t-1}-1)} & \alpha^{(2t-2)(j_{2t-1}-1)} & \alpha^{(2t-1)(j_{2t-1}-1)} \\ \end{pmatrix} $$ あら、まぁ。どんどん複雑になっていきますね。
でも、この「行列」の特徴は、次のようなものになっています。
- 「行列」の左端の要素がすべて「1」になっている。
- 「行列」のサイズが2t行2t列の「正方行列」になっている。
- 「行列」のある行の2列目が\(\alpha^x\)だとすると、3列目は\(\alpha^{2x}\)、4列目は\(\alpha^{3x}\)といったように、\(\alpha^x\)倍になっていく。
えっ！？えっ？？？いきなり「ヴぁんで・・・行列？」
まぁ、まぁ、落ち着いてください。「ヴァンデルモンド行列」というのはただの名前ですから、いかついけど気にしないでください。
また、なんで「ヴァンデルモンド行列」の「行列式」が「0」にならないかは次回解説しますから、今はそんなもんだと思ってください。
さて、リード・ソロモンの「検査行列」から好きな行を(\2t\)行取り出した「正方行列」(←ヴァンデルモンド行列)ですが、この中には同じ要素は入っていないですよね？全部\(\alpha\)の右肩にのっかっている数字が違います。
ということは、この行列の「行列式」は0ではないことを意味します。
「行列式」が「0」にならないということは、この「行列」の行を「足したり」「引いたり」してがんばって操作しても全てが0の行が「できない」ということを意味するんでしたね。
ということは、この「行列」の「ランク」の計算に必要な「階段行列」をつくるために、各行を「足したり」「引いたり」しても、すべての要素が「0」になる行は1つもできず、結局ランクは「2t」になります。
では、サイズが2t行2t列の「行列」でランクが「2t」の「行列」を、階段行列に変形するとどんな「行列」になるでしょうか？
$$ \begin{pmatrix} x_{0,0} & x_{0,1} & x_{0,2} & \cdots & x_{0,(2t-3)} & x_{0,(2t-2)} & x_{0,(2t-1)} \\ 0 & x_{1,1} & x_{1,2} & \cdots & x_{1,(2t-3)} & x_{1,(2t-2)} & x_{1,(2t-1)} \\ 0 & 0 & x_{2,2} & \cdots & x_{2,(2t-3)} & x_{2,(2t-2)} & x_{2,(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & x_{(2t-3),(2t-3)} & x_{(2t-3),(2t-2)} & x_{(2t-3),(2t-1)} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_{(2t-2),(2t-2)} & x_{(2t-2),(2t-1)} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & x_{(2t-1),(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ 「階段行列」は一つ上の行よりも必ず左側の「0」が多くなるようにしなければいけないという性質があります。
さらに、サイズが2t行2t列の「行列」で「ランク」が2tなので、すべての要素が「0」の行は存在しないということになります。(あれば、ランクは2tよりも小さくなるので・・・)
これらの条件を守るためには、絶対、こんな形の階段行列にしかなれないです。
さて、もともとサイズが2n行2t列のリード・ソロモンの「検査行列」から、好きな2t行を取り出した「行列」の各行を「足し算」「引き算」した結果が、先ほどのような「階段行列」になるのでした。
ということは、元の2n行2t列の「検査行列」各行を「足し」「引き」することで、\(2t\)行\(2t\)列の「段行列」の部分と、\((2n-2t)\)行2t列のその他の部分に分けることができます。
さて、\((2n-2t)\)行2t列の部分の各行は、\(2t\)行\(2t\)列の「階段行列」の各行を工夫して「足し」「引き」することにより、すべての要素が0の行にすることができます。
なぜなら、2t行2t列の「階段行列」の1行目に適当な数字をかけると、1列目に好きな数字を生み出すことができます。
次に、「階段行列」の2行目に適当な数字を「掛けて」、先ほどの変形した1行目と「足し算」すると、2列目の部分に好きな数字を生み出すことができます。
このとき、重要なのは、変形した2行目を変形した1行目に「足し算」しても、1行目に適当な数字を「掛けて」作った1列目の数字には影響を与えないということです。
(だって、2行目の1列目は「0」だから当たり前ですよね)
同じことを繰り返すと、3列目、4列目・・・・2t-1列目まで好きな数字にすることができます。
ということは、この「階段行列」の各行を「足し」「引き」することでどんな要素の行でも作り出せるので、\((2n-2t)\)行2t列の部分の各行は、2t行2t列の「階段行列」の各行を工夫して「足し」「引き」することにより、すべての要素が0の行にすることができるんです。
・・・や、ややこしい。で、結局なんなの？
もう少しで終わりますんで我慢してください。
これまでのことをまとめると、リード・ソロモンの「検査行列」の各行を「足し」「引き」して操作することで、2t行の「階段行列」を作ることができ、その他の行は全て要素が0の行にすることができるということがわかりました。
ということは、リード・ソロモンの「検査行列」の「ランク」は「2t」ということになりますね。
ふーー。ようやく、ランクがわかりました！
次は、ちょっと寄り道して、「ヴァンデルモンド行列」の行列式がなぜ「0」にならないかを解説します。