QRコードの概要

符号化（エンコード）

エラー訂正の概要

エラー訂正に必要な「行列」の解説

「行列」を使ってエラー訂正をしよう

リード・ソロモン符号とエラー訂正の方法

多項式の割り算

リード・ソロモン符号の作り方

ガロア理論と体

QRコードを作ろう

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独極・QRコード担当の「あじな」です。
今回は、（今回も？）ちょっと寄り道して、「ヴァンデルモンド行列」についての解説です。
またまた、いかつい名前ですね。ヴァンデルモンドというのはフランスの数学者の名前らしいですよ。

これまでの復習 [表示する]

QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
「$(-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) $」を「余因子行列」と呼ぶ
「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)$\times$(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が$\alpha^{(x-1)(y-1)}$で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t

ヴァンデルモンド、再来

「ヴァンデルモンド」って、ラスボスでいそうですよね。人の名前なので、失礼なのはわかっているのですが、ついつい。
さぁ、気を取り直して、今回のテーマは「なぜ、ヴァンデルモンド行列の行列式は0にならないのか」です。
ということで、もう一度、ヴァンデルモンド行列を書いておきましょう。
まず、ヴァンデルモンド行列の特徴です。

「行列」の左端の要素がすべて「1」になっている。
「行列」のサイズがn行n列の「正方行列」になっている。
「行列」のある行の2列目が$\x_{n}$だとすると、3列目は$\x_{n}^{2}$、4列目は$\x_{n}^{3}$といったように、$\x_{n}$倍になっていく。

※前回の解説の定義から、記号は変えていますが、言っている意味はいっしょです！。
そして、ヴァンデルモンド行列の行列式の具体例はこんなやつです。
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-2} & x_{1}^{n-1} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} & x_{2}^{n-1} \\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{3}^{n-2} & x_{3}^{n-1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^{2} & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-2} & x_{n}^{n-1} \\ \end{vmatrix} $$ よーくみると、可愛く見えて・・・こないですね。

早速、ゴリっと計算してみましょう。

さて、何がやりたいかというと、このn行n列の行列から、さくっと1行目と1列目を消し去って、(n-1)行(n-1)列の行列に縮小してしましたいです。
はぁ、できるもんならどうぞ・・・。って言わずっちょっとだけ付き合ってください。マジでできるんですって。

まず、n-1列目に$x_{1}$を掛け算して、n列目から引き算してみてくださいな。
行列式の値は、各行や列に数字を掛け算したものを他の行から引き算しても変わらないのでしてよね。
すると、こんな感じになりましょね。
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-2} & 0 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} & x_{2}^{n-1} - x_{1}x_{2}^{n-2}\\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{3}^{n-2} & x_{3}^{n-1} - x_{1}x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^{2} & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & x_{n-1}^{n-1} - x_{1}x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-2} & x_{n}^{n-1} - x_{1}x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ ね。ね。ちょっとだけ、1行目が消えそうな予感しません？だって、右上のやつが「0」になったでしょ。
でも、ちょっと見づらいから2行目以降のn列目を整理して書きましょう。
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & x_{1}^{n-2} & 0 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-2}\\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{3}^{n-2} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^{2} & \cdots & x_{n-1}^{n-2} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-2} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ なんか、法則めいたものが見えてきませんか？
今度は、n-2列目に$x_{1}$を掛け算して、n-1列目から引き算してみましょう。
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & x_{2}^{n-2} - x_{1}x_{2}^{n-3} & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-2}\\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \cdots & x_{3}^{n-2} - x_{1}x_{3}^{n-3} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^{2} & \cdots & x_{n-1}^{n-2} - x_{1}x_{n-1}^{n-3} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & x_{n}^{n-2} - x_{1}x_{n}^{n-3} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ そして、またもや整理して書きますよ。
$$ \begin{vmatrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} & \cdots & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-3} & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-2}\\ 1 & x_{3} & x_{3}^{2} & \cdots & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-3} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & x_{n-1}^{2} & \cdots & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-3} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} & \cdots & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-3} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ おお。なんだか、法則がわかってきましたね。
どうやら、一つ前の列に$x_{1}$をかけて、引き算すると、1行目は「0」になり、2行目以降は$(x_{n} - x_{1})$と$x_{n}$の右肩の数字を一つ減らしたものを掛け算したものになるようです。
すると、これを続けていくと、こんな感じになるはずですよね。
$$ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & (x_{2} - x_{1}) & (x_{2} - x_{1})x_{2} & \cdots & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-3} & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-2}\\ 1 & (x_{3} - x_{1}) & (x_{3} - x_{1})x_{3} & \cdots & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-3} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & (x_{n-1} - x_{1}) & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1} & \cdots & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-3} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & (x_{n} - x_{1}) & (x_{n} - x_{1})x_{n} & \cdots & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-3} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ もともとの行列式の2列目では、$x_{n}$の右肩の数字が「1」だった(記載は省略されておりましたが・・・)ので、その数字を1減らすと「0」になって、結局$x_{n}^{0}=1$となっていることに注意してくださいね。
さぁ、ここから大手術！余因子展開の出番です。
余因子展開とは、次のように行列式の値の計算を展開することでした。
$$ x_{1,1} \times (-1)^(1+1) \times (元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式)+x_{1,2} \times (-1)^(1+2) \times (元の行列から1行目と2列目を取り去った行列の行列式)+ \cdots + x_{1,n} \times (-1)^(1+n) \times (元の行列から1行目とn列目を取り去った行列の行列式) $$ さて、$x_{1,1}$の値は1でしたね。そんでもって、$x_{1,2}$〜$x_{1,n}$の値は「0」でした。
ということは、結局先ほどの行列式の1行1列目で余因子展開すると「元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式」となっちまうんです！！
すると、こんな感じになりますね。
$$ \begin{vmatrix} (x_{2} - x_{1}) & (x_{2} - x_{1})x_{2} & \cdots & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-3} & (x_{2} - x_{1})x_{2}^{n-2}\\ (x_{3} - x_{1}) & (x_{3} - x_{1})x_{3} & \cdots & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-3} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ (x_{n-1} - x_{1}) & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1} & \cdots & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-3} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ (x_{n} - x_{1}) & (x_{n} - x_{1})x_{n} & \cdots & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-3} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ あら、最初の予言通り、n行n列の行列式が、n-1行n-1列の行列式に縮小されてしまいました。
でも、驚くのはこれだけじゃありません。ここから更に魔法がかかります。

結局、元通りですか・・・

先ほどのn-1行n-1列に縮小した行列の1行目をみると、全ての要素に$(x_{2} - x_{1})$が掛け算されてますね。(まぁ、そうなるように作ったので・・)
ここで、行列式の特徴「ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ」を使います。
そうすると、$(x_{2} - x_{1})$が行列式の外に出されるので、次のようになります。
$$ (x_{2} - x_{1}) \begin{vmatrix} 1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-3} & x_{2}^{n-2}\\ (x_{3} - x_{1}) & (x_{3} - x_{1})x_{3} & \cdots & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-3} & (x_{3} - x_{1})x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ (x_{n-1} - x_{1}) & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1} & \cdots & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-3} & (x_{n-1} - x_{1})x_{n-1}^{n-2}\\ (x_{n} - x_{1}) & (x_{n} - x_{1})x_{n} & \cdots & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-3} & (x_{n} - x_{1})x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ 次に、2行目を見ると、ここにはすべて$(x_{3} - x_{1})$が掛け算されてますね。・・・というように、すべての行から掛け算されている定数を行列式の外に出すと、こんな感じになります。
$$ (x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1}) \cdots (x_{n-1} - x_{1})(x_{n} - x_{1}) \times \\ \begin{vmatrix} 1 & x_{2} & \cdots & x_{2}^{n-3} & x_{2}^{n-2}\\ 1 & x_{3} & \cdots & x_{3}^{n-3} & x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n-1} & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & x_{n} & \cdots & x_{n}^{n-3} & x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ あれ？式の中にでている行列式を見てください。
これって、また「ヴァンデルモンド行列」になってますよね？でも、はじめの「ヴァンデルモンド行列」よりもサイズが1つ小さくなっています。
ということは、この小さな「ヴァンデルモンド行列」に今までと同じことを繰り返すと・・・

過去は繰り返す・・・

そう、繰り返すとこうなります。
$$ (x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1}) \cdots (x_{n-1} - x_{1})(x_{n} - x_{1}) \times \\ (x_{3} - x_{2})(x_{4} - x_{2}) \cdots (x_{n-1} - x_{2})(x_{n} - x_{2}) \times \\ \begin{vmatrix} 1 & \cdots & x_{3}^{n-3} & x_{3}^{n-2}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \cdots & x_{n-1}^{n-3} & x_{n-1}^{n-2}\\ 1 & \cdots & x_{n}^{n-3} & x_{n}^{n-2}\\ \end{vmatrix} $$ そして、どんどん繰り返していくと、最後はこうなっちゃいます。
$$ (x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1}) \cdots (x_{n-1} - x_{1})(x_{n} - x_{1}) \times \\ (x_{3} - x_{2})(x_{4} - x_{2}) \cdots (x_{n-1} - x_{2})(x_{n} - x_{2}) \times \\ (x_{4} - x_{3})(x_{5} - x_{3}) \cdots (x_{n-1} - x_{3})(x_{n} - x_{3}) \times \\ \vdots \\ (x_{n-1} - x_{n-2})(x_{n} - x_{n-2}) \times \\ \begin{vmatrix} 1 & x{n-1} \\ 1 & x{n} \\ \end{vmatrix} $$ ついに、「ヴァンデルモンド行列」が2行2列のサイズになってしまいました・・・。そして、この行列式は$(x_{n} - x_{n-1})$ですよね。
なので、最終的にはこうなります。
$$ (x_{2} - x_{1})(x_{3} - x_{1}) \cdots (x_{n-1} - x_{1})(x_{n} - x_{1}) \times \\ (x_{3} - x_{2})(x_{4} - x_{2}) \cdots (x_{n-1} - x_{2})(x_{n} - x_{2}) \times \\ (x_{4} - x_{3})(x_{5} - x_{3}) \cdots (x_{n-1} - x_{3})(x_{n} - x_{3}) \times \\ \vdots \\ (x_{n-1} - x_{n-2})(x_{n} - x_{n-2}) \times \\ (x_{n} - x_{n-1}) $$ ふーーすっきりしましたね。
結局、「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、中の要素をそれぞれ引き算したものを掛け合わせたものになるんですね。

結局、「ヴァンデルモンド行列」の行列式の値は？

もし、中の要素に「同じ値」があれば、先ほどの掛け算の中の要素のどれか一つが「0」になってしまい、行列式全体の値も「0」になります。
一方、中の要素に「同じ値」がなければ、先ほどの掛け算は絶対に「0」にはなりませんね。
これで、ようやく、同じ値の要素がなければ「ヴァンデルモンド行列」の行列式は「0」にはならないということが証明できました！！！
さて、次回はまたもや「リード・ソロモン」の検査行列の解説に戻ります。