つぎから次へと新しい特徴が出てきて、覚えきれませんね。独極・QRコード担当の「あじな」です。
「これまでの復習」欄にポイントを載せているので、見返してくださいね。
今回は、前回解説した「「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。」という特徴を使って、爆速で解説を終える予定です。
全く同じ「行」が2個以上あるというのは、こんな「行列」の場合ですね。これは、2行目と3行目が全く同じになっています。
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} $$ ここで、突然ですが上の「行列式」の値を「\(x\)」だとするじゃないですか。
そして、さらに突然ですが、上の「行列」の「2行目」と「3行目」を交換してください。
こんな「行列」になりますよね。
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} $$ ・・・って、2行目と3行目が同じなので、当然ですが見た目は何も変わりません。
この行列式の値は何でしょうか？
・・・・まぁ、先ほどの「行列」から変わってないので「\(x\)」のはずです。
でも、2行目と3行目をひっくり返したので、「「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。」の特徴に従えば、「\(-x\)」にもなるはずです。
そして、当然この「行列」の「行列式」は1つのはずなので、「\(x=-x\)」となります。
何か不思議な感じですね。例えば、\(x\)が\(10\)の場合は、「\(10=-10\)」となってあり得ないことになっちゃいます。
こんな式を満たす数字は「\(x=0\)」しかありません。「\(0=-0\)」ですからね。
ということで、上の行列式の値は「\(x=0\)」となるんです。
なんか、だまされたような・・・。ピンとこないような・・。という感じを持つ方もいらっしゃるかもしれません。
数学的な話って、たまに「証明は理解できるんだけど、なんでそうなるか腹落ちしない」ということがありますよね。
でも、全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」ということは事実なので覚えておいてくださいね。
「これまでの復習」欄にポイントを載せているので、見返してくださいね。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
はい。そうなんです。今回は、前回解説した「「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。」という特徴を使って、爆速で解説を終える予定です。
全く同じ「行」が2個以上あるというのは、こんな「行列」の場合ですね。これは、2行目と3行目が全く同じになっています。
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} $$ ここで、突然ですが上の「行列式」の値を「\(x\)」だとするじゃないですか。
そして、さらに突然ですが、上の「行列」の「2行目」と「3行目」を交換してください。
こんな「行列」になりますよね。
$$ \begin{pmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 7 \end{pmatrix} $$ ・・・って、2行目と3行目が同じなので、当然ですが見た目は何も変わりません。
この行列式の値は何でしょうか？
・・・・まぁ、先ほどの「行列」から変わってないので「\(x\)」のはずです。
でも、2行目と3行目をひっくり返したので、「「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。」の特徴に従えば、「\(-x\)」にもなるはずです。
そして、当然この「行列」の「行列式」は1つのはずなので、「\(x=-x\)」となります。
何か不思議な感じですね。例えば、\(x\)が\(10\)の場合は、「\(10=-10\)」となってあり得ないことになっちゃいます。
こんな式を満たす数字は「\(x=0\)」しかありません。「\(0=-0\)」ですからね。
ということで、上の行列式の値は「\(x=0\)」となるんです。
なんか、だまされたような・・・。ピンとこないような・・。という感じを持つ方もいらっしゃるかもしれません。
数学的な話って、たまに「証明は理解できるんだけど、なんでそうなるか腹落ちしない」ということがありますよね。
でも、全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」ということは事実なので覚えておいてくださいね。