独極・QRコード担当の「あじな」です。
長い道のりも一歩ずつ・・。ようやく「行列編」のゴールが見えてきました。
本当は、問題を解いて「答え」を導き出すのが気持ちいいのですが、はじめから答えありきだとやる気を失ってしまいますね。
とはいえ、0から問題を解くには複雑すぎるので、今回は「逆行列」の求め方を天下り式で解説します。
まずは、具体例を出すために、3行・3列の次の「行列」に登場してもらいましょう。(前回も出た「行列」です) $$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$ この行列の逆行列(っぽいもの)を書いてみます。次のようになります。 $$ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} $$ でたな化け物！！・・・といわずに、落ち着いてみてください。
(「行列式」は所詮、ただの「数字」でしたね。だから、上の化け物みたいな行列は3行・3列の「行列」です。)
この変態的化け物と戦う前に、もう少し落ち着いて見てみましょう。
実は、この化け物行列の各要素は前回解説した「余因子行列」の「行列式」になっていることがわかるでしょうか？
例えば、1行・1列目の\(\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)は、元の3行・3列の行列から1行・1列目を削除した余因子行列です。
1行2列目の\(-1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)は、元の3行・3列の行列から2行・1列目を削除した余因子行列になります。
つまり、「a行b列目の要素は、元の3行・3列の行列からb行a列目を削除した余因子行列の行列式」になっているです。
(要素の位置と、削除する行列の行と列が逆さになるところがポイントです)
さて、この化け物行列、本当に元の行列の「逆行列」になっているのでしょうか？)
このネオエクスデス(知ってる人いるのかな？)みたいなラスボスはちょっと置いといて、次の計算で訓練しましょう。
みなさんは、次の式が正しいことってわかりますか？
$$ a_{1,1} \times \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} $$ (ちなみに、\(a_{1,2}, a_{1,3}\)の部分はどんな数字が入っても今後の計算に影響はないのですが、一応雰囲気を出すために、下の行とそろえてみました)
前回に解説した「余因子行列」を使った「行列式」の展開を確認すれば一発でわかります。
3行・3列の行列の行列式の余因子展開は次のものでした。
$$ a_{1,1} \times (-1)^{(1+1)} \times (元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式)+a_{2,1} \times (-1)^{(2+1)} \times (元の行列から2行目と1列目を取り去った行列の行列式)+a_{3,1} \times (-1)^{(3+1)} \times (元の行列から3行目と1列目を取り去った行列の行列式) $$ これを、\( \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)に当てはめると、\(a_{2,1}\)と\(a_{3,1}\)の部分が「0」なので、結局次のようになります。
$$ a_{1,1} \times (-1)^{(1+1)} \times (元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式) $$ これって、まさに\(a_{1,1} \times \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)のことですね。
これって、ちょっと余因子展開の逆バージョンみたいで面白いですね。
では、ちょっとした訓練もしたことなので、バラモス(ネオエクスデスじゃなかったのかよ・・・)を倒しに行きましょう！
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
お得意の「天下り式」で解説！
答えを提示して説明する方法を「天下り式」と呼びますが、あまり良い方法とは言われません。。本当は、問題を解いて「答え」を導き出すのが気持ちいいのですが、はじめから答えありきだとやる気を失ってしまいますね。
とはいえ、0から問題を解くには複雑すぎるので、今回は「逆行列」の求め方を天下り式で解説します。
まずは、具体例を出すために、3行・3列の次の「行列」に登場してもらいましょう。(前回も出た「行列」です) $$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$ この行列の逆行列(っぽいもの)を書いてみます。次のようになります。 $$ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} $$ でたな化け物！！・・・といわずに、落ち着いてみてください。
(「行列式」は所詮、ただの「数字」でしたね。だから、上の化け物みたいな行列は3行・3列の「行列」です。)
この変態的化け物と戦う前に、もう少し落ち着いて見てみましょう。
実は、この化け物行列の各要素は前回解説した「余因子行列」の「行列式」になっていることがわかるでしょうか？
例えば、1行・1列目の\(\begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)は、元の3行・3列の行列から1行・1列目を削除した余因子行列です。
1行2列目の\(-1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)は、元の3行・3列の行列から2行・1列目を削除した余因子行列になります。
つまり、「a行b列目の要素は、元の3行・3列の行列からb行a列目を削除した余因子行列の行列式」になっているです。
(要素の位置と、削除する行列の行と列が逆さになるところがポイントです)
さて、この化け物行列、本当に元の行列の「逆行列」になっているのでしょうか？)
化け物行列を退治！・・いや、計算！
それでは、本当に逆行列になっているか、確かめてみましょう。 確かめる方法？力ずくで計算するまでです！！ $$ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$ 威勢のよいことを言ったのですが、こいつは・・・。ちょっと・・。。手ごわいですね。このネオエクスデス(知ってる人いるのかな？)みたいなラスボスはちょっと置いといて、次の計算で訓練しましょう。
みなさんは、次の式が正しいことってわかりますか？
$$ a_{1,1} \times \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} $$ (ちなみに、\(a_{1,2}, a_{1,3}\)の部分はどんな数字が入っても今後の計算に影響はないのですが、一応雰囲気を出すために、下の行とそろえてみました)
前回に解説した「余因子行列」を使った「行列式」の展開を確認すれば一発でわかります。
3行・3列の行列の行列式の余因子展開は次のものでした。
$$ a_{1,1} \times (-1)^{(1+1)} \times (元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式)+a_{2,1} \times (-1)^{(2+1)} \times (元の行列から2行目と1列目を取り去った行列の行列式)+a_{3,1} \times (-1)^{(3+1)} \times (元の行列から3行目と1列目を取り去った行列の行列式) $$ これを、\( \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)に当てはめると、\(a_{2,1}\)と\(a_{3,1}\)の部分が「0」なので、結局次のようになります。
$$ a_{1,1} \times (-1)^{(1+1)} \times (元の行列から1行目と1列目を取り去った行列の行列式) $$ これって、まさに\(a_{1,1} \times \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix}\)のことですね。
これって、ちょっと余因子展開の逆バージョンみたいで面白いですね。
では、ちょっとした訓練もしたことなので、バラモス(ネオエクスデスじゃなかったのかよ・・・)を倒しに行きましょう！