独極・QRコード担当の「あじな」です。
リード・ソロモン符号の復号の方法について解説したところで、いよいよリード・ソロモン符号の作り方について！
という勢いにのったところ、非常に申し訳ないのですが、ちょっとだけ寄り道させてください。
そのテーマは「割り算」でございます。
割り算なんて知ってるわい！と言われそうですが、こんな割り算を見てください。
$$ (3x^3 -4x^2 +2x -1) \div (x-2) $$ いやいやいや。割り算といったら(\(4 \div 2\))とか、(\(32 \div 9)\)とかじゃないの？
\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)といったものを「多項式」と呼びます(「項」というのは\(3x^3\)というやつで、これが複数あるので多項式と呼びます)が、「多項式」を「多項式」で割り算することができるのです。
どうやってやるの？
習うより慣れろ！実際にやってみるところを見たほうが早いですね。
$$ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} $$ まず、\((x-2)\)と\((3x^3)\)に注目しましょう。\((x-2)\)に\((3x^2)\)を掛け算すると、\((3x^3-6x^2)\)となり、第一項が\((3x^3)\)と一致します。
そこで、次のように筆算を書きます(位置がそろっていないのは、私の力不足なのでご勘弁ください・・)
$$ 3x^2 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ $$ そして、普通の割り算のように、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)から\((3x^3 -6x^2)\)を引き算します。
$$ 3x^2 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} $$ 次は、\((x-2)\)と\((2x^2 )\)に注目しましょう。\((x-2)\)に\((2x)\)を掛け算すると、\((2x^2-4x)\)となり、第一項が\((2x^2)\)と一致します。
また、筆算に書き込みます。
$$ 3x^2 + 2x \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} \\ 2x^2-4x \\ \overline{6x -1} $$ 同じように、筆算を続けると・・・
$$ 3x^2 + 2x + 6 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} \\ 2x^2-4x \\ \overline{6x -1} \\ 6x -12 \\ \overline{11} $$ ここまでくると、割り算は終わりです。
つまり、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)を\((x-2)\)で割ると、商は\((3x^2 + 2x + 6)\)で、余りが\((11)\)になります。
元の式との関係で、この結果は次のように書くことができます。
$$ 3x^3 -4x^2 +2x -1 = (3x^2 + 2x + 6)(x-2) + 11 $$ では、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)を\((x-1)\)で割るとどうなるでしょうか？
$$ 3x^2 - x + 1 \\ x-1 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -3x^2 \\ \overline{-x^2 +2x -1} \\ -x^2+x \\ \overline{x -1} \\ x -1 \\ \overline{0} $$ おっ！これは余りが「0」になりました。
この場合は、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)は\((x-1)\)で割り切れるといいます。
これは次のように書くことができます。
$$ 3x^3 -4x^2 +2x -1 = (3x^2 -x + 1)(x-1) $$ 慣れてしまえば、普通の割り算の筆算みたいで簡単でしょ。
このように、多項式\(f(x)\)を他の多項式\(g(x)\)で割り算した結果は、商\(Q(x)\)と余り\(R(x)\)を使って次のように書くことができます。
ここで、\(f(x)\)とか\(g(x)\)とか、はては、\(Q(x)\)や\(R(x)\)といったなんだか難しそうな記号がでてきますが、恐れないでください。
全て\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)みたいなただの多項式です。
$$ f(x) = g(x)Q(x) + R(x) $$ では、次回は多項式の割り算からわかる、多項式のいろんな特徴をみていきます。
安心してください！行列のときのように多項式の解説に何回分もの連載を・・・というわけではないので！
リード・ソロモン符号の復号の方法について解説したところで、いよいよリード・ソロモン符号の作り方について！
という勢いにのったところ、非常に申し訳ないのですが、ちょっとだけ寄り道させてください。
そのテーマは「割り算」でございます。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
- 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)\(\times\)(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
- 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
- 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
- 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
- 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
- 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
- エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
- エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
- エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
- 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
- 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
- エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
- 「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
- リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が\(\alpha^{(x-1)(y-1)}\)で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
- リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t
- リード・ソロモンの「検査行列」の特徴は、「エラー訂正機能付符号」の「長さ」はn、実質的に単語を表現する桁数)はn-2t、「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」は2t+1
- 「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、行列の要素に同じ値のものがなければ「0」にはならない。
- 受信符号に検査行列を掛け算した結果は、発生したエラーに検査行列を掛けたものと同じになる、「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」
- 「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」を展開すると、方程式の数がn個、未知数が2t個の連立方程式になる
- リード・ソロモン符号の解き方は、「01.エラーの発生個数」「02.エラーの発生位置」「03.エラーの内容」の3ステップ
- \(\begin{vmatrix} S_0 & S_1 & \ldots & S_{j-1} \\ S_1 & S_2 & \ldots & S_{j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{j-1} & S_{j} & \ldots & S_{ 2j-2 } \\ \end{vmatrix}\)という行列式の\(j\)の値を\(t\)から1つずつ減らしていき、初めて行列式の値が「0」以外になった時の\(j\)がエラーの発生個数になる。
- エラーが発生している位置に対応する\(\alpha\)の「逆数」(つまり、\(\alpha^{-p_0},\alpha^{-p_1},\cdots ,\alpha^{-p_{j-2}},\alpha^{-p_{j-1}}\)を入力したときだけ「0]を出力する関数を、\(\boldsymbol{Y} \)と\(\boldsymbol{H}\)の情報から作ることができ、エラーの位置を求めることができる
- エラーの位置が分かった状態であれば、元の「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」を普通の連立方程式のように解くことができ、「エラーの内容」を求めることができる
人生に寄り道はつきもの
ちょっとここで、寄り道して「割り算」について解説させてください。割り算なんて知ってるわい！と言われそうですが、こんな割り算を見てください。
$$ (3x^3 -4x^2 +2x -1) \div (x-2) $$ いやいやいや。割り算といったら(\(4 \div 2\))とか、(\(32 \div 9)\)とかじゃないの？
\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)といったものを「多項式」と呼びます(「項」というのは\(3x^3\)というやつで、これが複数あるので多項式と呼びます)が、「多項式」を「多項式」で割り算することができるのです。
どうやってやるの？
習うより慣れろ！実際にやってみるところを見たほうが早いですね。
$$ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} $$ まず、\((x-2)\)と\((3x^3)\)に注目しましょう。\((x-2)\)に\((3x^2)\)を掛け算すると、\((3x^3-6x^2)\)となり、第一項が\((3x^3)\)と一致します。
そこで、次のように筆算を書きます(位置がそろっていないのは、私の力不足なのでご勘弁ください・・)
$$ 3x^2 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ $$ そして、普通の割り算のように、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)から\((3x^3 -6x^2)\)を引き算します。
$$ 3x^2 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} $$ 次は、\((x-2)\)と\((2x^2 )\)に注目しましょう。\((x-2)\)に\((2x)\)を掛け算すると、\((2x^2-4x)\)となり、第一項が\((2x^2)\)と一致します。
また、筆算に書き込みます。
$$ 3x^2 + 2x \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} \\ 2x^2-4x \\ \overline{6x -1} $$ 同じように、筆算を続けると・・・
$$ 3x^2 + 2x + 6 \\ x-2 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -6x^2 \\ \overline{2x^2 +2x -1} \\ 2x^2-4x \\ \overline{6x -1} \\ 6x -12 \\ \overline{11} $$ ここまでくると、割り算は終わりです。
つまり、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)を\((x-2)\)で割ると、商は\((3x^2 + 2x + 6)\)で、余りが\((11)\)になります。
元の式との関係で、この結果は次のように書くことができます。
$$ 3x^3 -4x^2 +2x -1 = (3x^2 + 2x + 6)(x-2) + 11 $$ では、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)を\((x-1)\)で割るとどうなるでしょうか？
$$ 3x^2 - x + 1 \\ x-1 \sqrt{3x^3 -4x^2 +2x -1} \\ 3x^3 -3x^2 \\ \overline{-x^2 +2x -1} \\ -x^2+x \\ \overline{x -1} \\ x -1 \\ \overline{0} $$ おっ！これは余りが「0」になりました。
この場合は、\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)は\((x-1)\)で割り切れるといいます。
これは次のように書くことができます。
$$ 3x^3 -4x^2 +2x -1 = (3x^2 -x + 1)(x-1) $$ 慣れてしまえば、普通の割り算の筆算みたいで簡単でしょ。
このように、多項式\(f(x)\)を他の多項式\(g(x)\)で割り算した結果は、商\(Q(x)\)と余り\(R(x)\)を使って次のように書くことができます。
ここで、\(f(x)\)とか\(g(x)\)とか、はては、\(Q(x)\)や\(R(x)\)といったなんだか難しそうな記号がでてきますが、恐れないでください。
全て\((3x^3 -4x^2 +2x -1)\)みたいなただの多項式です。
$$ f(x) = g(x)Q(x) + R(x) $$ では、次回は多項式の割り算からわかる、多項式のいろんな特徴をみていきます。
安心してください！行列のときのように多項式の解説に何回分もの連載を・・・というわけではないので！