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QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ

「愚直」こそ全て！

前回の解説の最後に、出てきて、具体的な計算を先延ばしにしていた「行列」の掛け算がこれです。
$$ \left| \begin{pmatrix} a_{ 11 } & a_{ 12 } & \ldots & a_{ 1n } \\ a_{ 21 } & a_{ 22 } & \ldots & a_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n2 } & \ldots & a_{ nn } \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_{ 11 } & b_{ 12 } & \ldots & b_{ 1n } \\ b_{ 21 } & b_{ 22 } & \ldots & b_{ 2n } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{ n1 } & b_{ n2 } & \ldots & b_{ nn } \end{pmatrix} \right| $$ この「掛け算」を愚直に計算すると次のようになります(ただの掛け算なので、計算自体はたいしたことないですね)。
$$ \left| a_{ 11 }b_{ 11 }+a_{ 12 }b_{ 21 } \ldots a_{ 1n }b_{ n1 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 21 }b_{ 11 }+a_{ 22 }b_{ 21 } \ldots a_{ 2n }b_{ n1 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 }b_{ 11 }+a_{ n2 }b_{ 21 } \ldots a_{ nn }b_{ n1 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| $$ さて、・・・ここからどうしたものやら。困りました。

困ってても仕方がないので、とりあえず、1列目に注目してみてください。
1列目をみると、$a_{x,y}b_{n,m}$といった形式の数字が足し算されていますよね。
ここで、ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができるという行列式の特徴を使いましょう。
そうすると、1列目の「足し算」部分を全部分割して、次のようなながーーーい式になることがわかります。
$$ \left| a_{ 11 }b_{ 11 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 21 }b_{ 11 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 }b_{ 11 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| \\+\\ \left| a_{ 12 }b_{ 21 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 22 }b_{ 21 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n2 }b_{ 21 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| \\+\\ \vdots \\+\\ \left| a_{ 1n }b_{ n1 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 2n }b_{ n1 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ nn }b_{ n1 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| $$ もがけばもがくほど、どんどんとカオスになっていきますねぇ。こんな化け物が出てきて、大丈夫なのでしょうか。
でも、上の式にでてくる沢山の「行列」の1列目を見ると、なにやら$b_{ 11 }$とか$b_{ 21 }$とか$b_{ n1 }$といった数字が掛け算されているようにみえます。
行列式の特徴ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じを使えば、$b_{ x,y }$を括りだせる気がします。
$$ b_{ 11 } \times \left| a_{ 11 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 21 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n1 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| \\+\\ b_{ 21 } \times \left| a_{ 12 } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 22 } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ n2 } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| \\+\\ \vdots \\+\\ b_{ n1 } \times \left| a_{ 1n } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 2n } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ nn } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| $$ もうそろそろ、こんな長ったらしい式に耐えられなくなったので、$\displaystyle \sum_{ i_{1} = 1 }^{ n }$の記号を使わせてください。
この記号を使うと、先ほどの行列式の計算は次のようになります。
$$ \displaystyle \sum_{ i_{1} = 1 }^{ n } b_{ i_{1}1 } \times \left| a_{ 1i_{1} } & a_{ 11 }b_{ 12 }+a_{ 12 }b_{ 22 } \ldots a_{ 1n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 11 }b_{ 1n }+a_{ 12 }b_{ 2n } \ldots a_{ 1n }b_{ nn } \\ a_{ 2i_{1} } & a_{ 21 }b_{ 12 }+a_{ 22 }b_{ 22 } \ldots a_{ 2n }b_{ n2 } & \ldots & a_{ 21 }b_{ 1n }+a_{ 22 }b_{ 2n } \ldots a_{ 2n }b_{ nn } \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ ni_{1} } & a_{ n1 }b_{ 12 }+a_{ n2 }b_{ 22 } \ldots a_{ nn }b_{ n2 } & \ldots & a_{ n1 }b_{ 1n }+a_{ n2 }b_{ 2n } \ldots a_{ nn }b_{ nn } \\ \right| $$ $\displaystyle \sum_{ i_{1} = 1 }^{ n }$はそのあとに続く数式の中の「$i_{1}$」を1からnまで変化させて、全部足し算するという記号です。
なので、もともとあった長い式を見かけ上だけシンプルにしたまでです。
もうだめです。。今日のところはここまでにしておきましょう。
この先、どうなっていくのかしらん。。