独極・QRコード担当の「あじな」です。
最近、タイトルのつけ方がいい加減になってきた気がしております・・・。「その1」とか「その2」とか・・。
一応考えるのですが、良いタイトルが思い浮かばなくて・・・
まず、素材となるk桁のメッセージ\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)を準備します。
\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)はk個の数字であれば何でもOKです。
次に、メッセージに対して、\(z\)を味付けしていきます。こんな感じの式を作るだけです。(\(z\)って何だったけ・・・と深く悩まないでください。式を作るために便宜的に出てきているだけなので、そういう未知数を用意するのねぐらいに思っておいてください)
$$ m(z)=z^0 m_0 + z^1 m_1 + z^2 m_2 + \cdots + z^{(k-3)} m_{(k-3)} + z^{(k-2)} m_{(k-2)} + z^{(k-1)}m_{(k-1)} $$ さて、この式の\(z\)に\(\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \cdots , \alpha^{(2t-3)}, \alpha^{(2t-2)}, \alpha^{(2t-1)}\)を入れたときの答えが0になれば、前回解説したように\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)がリード・ソロモン符号になり、めでたしめでたしなのですが、そんなに料理の世界は甘くありません。
素材\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)がどんなものでも美味しくリード・ソロモン符号にするのが料理人の腕のみせどころです。
まず、n桁の符号をもてるように、\(m(z)\)に\(z^{2t}\)を」掛け算してやります。
ちなみに、突然でてきた\(2t\)ですが、\(n-k=2t\)と置いているだけです。(場合によっては、\(t=1.5\)というように整数にならない場合もありますが、お気になさらず)
すると、上の式はこうなります。 $$ z^{2t}m(z)=z^{2t}m_0 + z^{(2t+1)} m_1 + z^{(2t+2)} m_2 + \cdots + z^{(2t+k-3)} m_{(k-3)} + z^{(2t+k-2)} m_{(k-2)} + z^{(2t+k-1)}m_{(k-1)} $$ 次に、この\(z^{n-k}m(z)\)を\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り算してまいます。ダイナミックな調理法ですね。
(ここで\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り切れれば、\(z^{n-k}m(z)\)がリード・ソロモン符号の検査行列に合格する\(f(x)\)といえるのですが、しつこいですがそんな偶然はほとんどありません)
割り算をした結果の商を\(Q(z)\)、余りを\(R(z)\)とすると、上の割り算はこのように書けます。
$$ z^{2t}m(z) = (z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})Q(z)+R(z) $$ ちなみに、\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)の次数は(\(z\)を含む項を\(2t\)個掛け算しているから)\(2t\)なので、\(R(z)\)の次数は\(2t-1\)以下となります。
そのため、\(R(z)\)は次のようにかけます。
$$ R(z)=r_0 z^0 + r_1 z^1 + r_2 z^2+ \cdots + r_{(2t-3)} z^{(2t-3)} + r_{(2t-2)} z^{(2t-2)} + r_{(2t-1)} z^{(2t-1)} $$ ところで、先ほどの割り算の式から左辺の\(R(x)\)を右辺に移すとこうなります。
$$ z^{2t}m(z) - R(z) = (z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})Q(z) $$ おぉ！？
この式ででてくる\(z^{2t}m(z) - R(z)\)って、見事に\(\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \cdots , \alpha^{(2t-3)}, \alpha^{(2t-2)}, \alpha^{(2t-1)}\)を入れたときの答えが0になりますね。
つまり、\(z^{2t}m(z) - R(z)\)はリード・ソロモン符号の検査行列に合格する\(f(z)\)になっています。
さらに、\(z^{2t}m(z) - R(z)\)の中身をちゃんと書くとこうなります。
$$ -r_0 z^0 - r_1 z^1 - r_2 z^2- \cdots - r_{(2t-3)} z^{(2t-3)} - r_{(2t-2)} z^{(2t-2)} - r_{(2t-1)} z^{(2t-1)} + m_0 z^{2t} + m_1 z^{(2t+1)} + m_2z^{(2t+2)} + \cdots + m_{k-3}z^{(2t+k-3)} + m_{k-2}z^{(2t+k-2)} +m_{k-1}z^{(2t+k-1)} $$ 書くと長ったらしくて複雑ですが、注目すべきは\(r\)と\(m\)が綺麗に分かれていて、途中に\(r+m\)といった\(r\)と\(m\)を混ぜた項がないところです。
これで何がよいかというと、元のメッセージ\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)に\((-r_0,-r_1, \cdots , -r_{(2t-2)},-r_{(2t-1)})\)をつなげるだけで、リード・ソロモン符号になるというお手軽さです！
あれ？でも、\((-r_0,-r_1, \cdots , -r_{(2t-2)},-r_{(2t-1)})\)ってなんでしたっけ？
\(R(z)\)の係数でしたよね。
\(R(z)\)は\(z^{n-k}m(z)\)を\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り算した結果の余りだったので、これを計算することで\(R(z)\)を具体的に求めることができます。
ということは、好きなメッセージを作って、それを\(z^{2t}\)倍して、\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割った余りを求めるという作業をすれば、いつでもリード・ソロモン符号が作れることがわかりました。クッキング完了です！！！
ばんざーーい！！これで、QRコードのエラー訂正についてマスターしました！
どんなメッセージ符号からでもリード・ソロモン符号を作りだすことができますし、逆にリード・ソロモン符号が送られてきたときに多少エラーが混じっていても元のメッセージを復元する方法を手にいれました。
長かった・・・。祝杯をあげたい気分です！！
えっ？これで連載は終了かって？
いえいえ、ぬか喜びしてはいけません。実は今までひた隠しにしていた事実があるんです。
それはリード・ソロモン符号のもう一つの山場。これまでの私たちの足し算・掛け算に対する概念を覆すような不思議なお話です・・・
次回からはその解説をじっくりしていきます！
最近、タイトルのつけ方がいい加減になってきた気がしております・・・。「その1」とか「その2」とか・・。
一応考えるのですが、良いタイトルが思い浮かばなくて・・・
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
- 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
- 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
- ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
- ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
- ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
- 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
- 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
- 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
- 「\((-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) \)」を「余因子行列」と呼ぶ
- 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
- 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)\(\times\)(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
- 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
- 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
- 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
- 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
- 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
- エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
- エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
- エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
- 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
- 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
- エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
- 「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
- リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が\(\alpha^{(x-1)(y-1)}\)で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
- リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t
- リード・ソロモンの「検査行列」の特徴は、「エラー訂正機能付符号」の「長さ」はn、実質的に単語を表現する桁数)はn-2t、「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」は2t+1
- 「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、行列の要素に同じ値のものがなければ「0」にはならない。
- 受信符号に検査行列を掛け算した結果は、発生したエラーに検査行列を掛けたものと同じになる、「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」
- 「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」を展開すると、方程式の数がn個、未知数が2t個の連立方程式になる
- リード・ソロモン符号の解き方は、「01.エラーの発生個数」「02.エラーの発生位置」「03.エラーの内容」の3ステップ
- \(\begin{vmatrix} S_0 & S_1 & \ldots & S_{j-1} \\ S_1 & S_2 & \ldots & S_{j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{j-1} & S_{j} & \ldots & S_{ 2j-2 } \\ \end{vmatrix}\)という行列式の\(j\)の値を\(t\)から1つずつ減らしていき、初めて行列式の値が「0」以外になった時の\(j\)がエラーの発生個数になる。
- エラーが発生している位置に対応する\(\alpha\)の「逆数」(つまり、\(\alpha^{-p_0},\alpha^{-p_1},\cdots ,\alpha^{-p_{j-2}},\alpha^{-p_{j-1}}\)を入力したときだけ「0]を出力する関数を、\(\boldsymbol{Y} \)と\(\boldsymbol{H}\)の情報から作ることができ、エラーの位置を求めることができる
- エラーの位置が分かった状態であれば、元の「\(\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}\)」を普通の連立方程式のように解くことができ、「エラーの内容」を求めることができる
- 多項式を多項式で割り算することができ、割り算した商を\(Q(x)\)、余りを\(R(x)\)とすると、「\(f(x) = g(x)Q(x) + R(x)\)」と書ける
- 次数が\(f\)の多項式を次数が\(g\)の多項式で割り算すると余りの多項式の次数は\(g\)未満になる
- 多項式\(f(x)\)の解(\(f(a)=0\)となる\(a\)の値）を使うと、\(f(x)=(x-a)R(x)\)と因数分解できる（剰余の定理）
- 多項式\(f(x)\)は\(f(x) = (x-a_1)(x-a_2)(x-a_3) \cdots (x-a_{(n-2)})(x-a_{(n-1)})(x-a_{n})\)と因数分解できる（ただし、\(a\)は複素数になることもある）
- \(x_0\)〜\(x_{(n-1)}\)を係数にもつ\(n-1\)次の多項式\(f(z)\)(\(f(z)=z^0 x_0 + z^1 x_1 + z^2 x_2 + \cdots + z^{(n-3)} x_{(n-3)} + z^{(n-2)} x_{n-2} + z^{(n-1)}x_{(n-1)})を\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り切ることができれば、\(x_0\)〜\(x_{(n-1)}\)はリード・ソロモン符号
リード・ソロモン符号のレシピ
ちゃららっちゃちゃちゃーん、ちゃららっちゃちゃちゃーん・・・キューピー3分間クッキングのテーマソングを脳内で流しながら、リード・ソロモンのレシピを書いていきましょう。まず、素材となるk桁のメッセージ\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)を準備します。
\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)はk個の数字であれば何でもOKです。
次に、メッセージに対して、\(z\)を味付けしていきます。こんな感じの式を作るだけです。(\(z\)って何だったけ・・・と深く悩まないでください。式を作るために便宜的に出てきているだけなので、そういう未知数を用意するのねぐらいに思っておいてください)
$$ m(z)=z^0 m_0 + z^1 m_1 + z^2 m_2 + \cdots + z^{(k-3)} m_{(k-3)} + z^{(k-2)} m_{(k-2)} + z^{(k-1)}m_{(k-1)} $$ さて、この式の\(z\)に\(\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \cdots , \alpha^{(2t-3)}, \alpha^{(2t-2)}, \alpha^{(2t-1)}\)を入れたときの答えが0になれば、前回解説したように\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)がリード・ソロモン符号になり、めでたしめでたしなのですが、そんなに料理の世界は甘くありません。
素材\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)がどんなものでも美味しくリード・ソロモン符号にするのが料理人の腕のみせどころです。
まず、n桁の符号をもてるように、\(m(z)\)に\(z^{2t}\)を」掛け算してやります。
ちなみに、突然でてきた\(2t\)ですが、\(n-k=2t\)と置いているだけです。(場合によっては、\(t=1.5\)というように整数にならない場合もありますが、お気になさらず)
すると、上の式はこうなります。 $$ z^{2t}m(z)=z^{2t}m_0 + z^{(2t+1)} m_1 + z^{(2t+2)} m_2 + \cdots + z^{(2t+k-3)} m_{(k-3)} + z^{(2t+k-2)} m_{(k-2)} + z^{(2t+k-1)}m_{(k-1)} $$ 次に、この\(z^{n-k}m(z)\)を\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り算してまいます。ダイナミックな調理法ですね。
(ここで\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り切れれば、\(z^{n-k}m(z)\)がリード・ソロモン符号の検査行列に合格する\(f(x)\)といえるのですが、しつこいですがそんな偶然はほとんどありません)
割り算をした結果の商を\(Q(z)\)、余りを\(R(z)\)とすると、上の割り算はこのように書けます。
$$ z^{2t}m(z) = (z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})Q(z)+R(z) $$ ちなみに、\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)の次数は(\(z\)を含む項を\(2t\)個掛け算しているから)\(2t\)なので、\(R(z)\)の次数は\(2t-1\)以下となります。
そのため、\(R(z)\)は次のようにかけます。
$$ R(z)=r_0 z^0 + r_1 z^1 + r_2 z^2+ \cdots + r_{(2t-3)} z^{(2t-3)} + r_{(2t-2)} z^{(2t-2)} + r_{(2t-1)} z^{(2t-1)} $$ ところで、先ほどの割り算の式から左辺の\(R(x)\)を右辺に移すとこうなります。
$$ z^{2t}m(z) - R(z) = (z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})Q(z) $$ おぉ！？
この式ででてくる\(z^{2t}m(z) - R(z)\)って、見事に\(\alpha^0, \alpha^1, \alpha^2, \cdots , \alpha^{(2t-3)}, \alpha^{(2t-2)}, \alpha^{(2t-1)}\)を入れたときの答えが0になりますね。
つまり、\(z^{2t}m(z) - R(z)\)はリード・ソロモン符号の検査行列に合格する\(f(z)\)になっています。
さらに、\(z^{2t}m(z) - R(z)\)の中身をちゃんと書くとこうなります。
$$ -r_0 z^0 - r_1 z^1 - r_2 z^2- \cdots - r_{(2t-3)} z^{(2t-3)} - r_{(2t-2)} z^{(2t-2)} - r_{(2t-1)} z^{(2t-1)} + m_0 z^{2t} + m_1 z^{(2t+1)} + m_2z^{(2t+2)} + \cdots + m_{k-3}z^{(2t+k-3)} + m_{k-2}z^{(2t+k-2)} +m_{k-1}z^{(2t+k-1)} $$ 書くと長ったらしくて複雑ですが、注目すべきは\(r\)と\(m\)が綺麗に分かれていて、途中に\(r+m\)といった\(r\)と\(m\)を混ぜた項がないところです。
これで何がよいかというと、元のメッセージ\((m_0,m_1,m_2, \cdots ,m_{k-3}, m_{k-2},m_{k-1})\)に\((-r_0,-r_1, \cdots , -r_{(2t-2)},-r_{(2t-1)})\)をつなげるだけで、リード・ソロモン符号になるというお手軽さです！
あれ？でも、\((-r_0,-r_1, \cdots , -r_{(2t-2)},-r_{(2t-1)})\)ってなんでしたっけ？
\(R(z)\)の係数でしたよね。
\(R(z)\)は\(z^{n-k}m(z)\)を\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割り算した結果の余りだったので、これを計算することで\(R(z)\)を具体的に求めることができます。
ということは、好きなメッセージを作って、それを\(z^{2t}\)倍して、\((z-\alpha^0)(z-\alpha^1)(z-\alpha^2) \cdots (z-\alpha^{(2t-3)})(z-\alpha^{(2t-2)})(z-\alpha^{(2t-1)})\)で割った余りを求めるという作業をすれば、いつでもリード・ソロモン符号が作れることがわかりました。クッキング完了です！！！
ばんざーーい！！これで、QRコードのエラー訂正についてマスターしました！
どんなメッセージ符号からでもリード・ソロモン符号を作りだすことができますし、逆にリード・ソロモン符号が送られてきたときに多少エラーが混じっていても元のメッセージを復元する方法を手にいれました。
長かった・・・。祝杯をあげたい気分です！！
えっ？これで連載は終了かって？
いえいえ、ぬか喜びしてはいけません。実は今までひた隠しにしていた事実があるんです。
それはリード・ソロモン符号のもう一つの山場。これまでの私たちの足し算・掛け算に対する概念を覆すような不思議なお話です・・・
次回からはその解説をじっくりしていきます！