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QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
「$(-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) $」を「余因子行列」と呼ぶ
「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)$\times$(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が$\alpha^{(x-1)(y-1)}$で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t
リード・ソロモンの「検査行列」の特徴は、「エラー訂正機能付符号」の「長さ」はn、実質的に単語を表現する桁数)はn-2t、「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」は2t+1
「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、行列の要素に同じ値のものがなければ「0」にはならない。
受信符号に検査行列を掛け算した結果は、発生したエラーに検査行列を掛けたものと同じになる、「$\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$」

それでは、具体的にエラーの詳細の計算に入っていきましょう

具体的な計算・・・何か嫌な予感がした皆様！素晴らしい勘です！！
そうです。今回もたーーーくさん数式がでてきます。でも、1つずつ丁寧に解説するので、ゆっくり読んでついてきてくださいね。

でもって、今回具体的な計算をするのは次の式です。
$$ \boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} $$ この左辺を丁寧にかくと、こうなります。
$$ (y_0,y_1,y_2,\cdots , y_{n-3},y_{n-2},y_{n-1}) \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ そして、愚直にこの行列の掛け算をしてみましょう。掛け算をすると結果はこうなります。
$$ (S_0,S_1,S_2, \cdots ,S_{2t-3},S_{2t-2},S_{2t-1}) $$ はい！？なんでいきなり$s_0$なんてわけわかんないものがでてきたの？魔法？
いえいえ、式が長ったらしくなるので、使っただけで、実際には$S$は以下の式になります。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} S_0 &=& y_0 &+& y_1 &+& y_2 &+& \cdots &+& y_{n-3} &+& y_{n-2} &+& y_{n-1} \\ S_1 &=& y_0 &+& y_1\alpha &+& y_2\alpha^2 &+& \cdots &+& y_{n-3}\alpha^{n-3} &+& y_{n-2}\alpha^{n-2} &+& y_{n-1}\alpha^{n-1} \\ S_2 &=& y_0 &+& y_1\alpha^2 &+& y_2\alpha^4 &+& \cdots &+& y_{n-3}\alpha^{2(n-3)} &+& y_{n-2}\alpha^{2(n-2)} &+& y_{n-1}\alpha^{2(n-1)} \\ \vdots\\ S_{2t-3} &=& y_0 &+& y_1\alpha^{(2t-3)} &+& y_2\alpha^{2(2t-3)} &+& \cdots &+& y_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-3)} &+& y_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-3)} &+& y_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-3)} \\ S_{2t-2} &=& y_0 &+& y_1\alpha^{(2t-2)} &+& y_2\alpha^{2(2t-2)} &+& \cdots &+& y_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-2)} &+& y_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-2)} &+& y_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-2)} \\ S_{2t-1} &=& y_0 &+& y_1\alpha^{(2t-1)} &+& y_2\alpha^{2(2t-1)} &+& \cdots &+& y_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-1)} &+& y_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-1)} &+& y_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ そろそろ、吐き気がしてきましたか？
でも、もう一度思い出してください。皆さんは、行列の中にでてくる$y$も$\alpha$も知っています。つまり、この($S_0,S_1,S_2, \cdots ,S_{2t-3},S_{2t-2},S_{2t-1}$)は、10とか0.5といった具体的な数字を計算することができるということです。
一方、先ほどの$\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$の右辺を展開するとこうなります。
(ほとんど、左辺の展開と同じです)
まず、右辺を行列の形式で丁寧にかくとこうなります。
$$ (e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1}) \times \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & \alpha^2 & \cdots & \alpha^{(2t-3)} & \alpha^{(2t-2)} & \alpha^{(2t-1)} \\ 1 & \alpha^2 & \alpha^4 & \cdots & \alpha^{2(2t-3)} & \alpha^{2(2t-2)} & \alpha^{2(2t-1)} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 1 & \alpha^{(n-3)} & \alpha^{2(n-3)} & \cdots & \alpha^{(n-3)(2t-3)} & \alpha^{(n-3)(2t-2)} & \alpha^{(n-3)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-2)} & \alpha^{2(n-2)} & \cdots & \alpha^{(n-2)(2t-3)} & \alpha^{(n-2)(2t-2)} & \alpha^{(n-2)(2t-1)} \\ 1 & \alpha^{(n-1)} & \alpha^{2(n-1)} & \cdots & \alpha^{(n-1)(2t-3)} & \alpha^{(n-1)(2t-2)} & \alpha^{(n-1)(2t-1)} \\ \end{pmatrix} $$ 次に、これを展開するとこうなります。(本当は展開した結果は、1行2t-1列の行列になるのですが、横にびろーーーんと長くなってしまうので、各列の中身を縦にならべちゃいました)
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} e_0 &+& e_1 &+& e_2 &+& \cdots &+& e_{n-3} &+& e_{n-2} &+& e_{n-1}\\ e_0 &+& e_1\alpha &+& e_2\alpha^2 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{n-3} &+& e_{n-2}\alpha^{n-2} &+& e_{n-1}\alpha^{n-1}\\ e_0 &+& e_1\alpha^2 &+& e_2\alpha^4 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{2(n-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{2(n-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{2(n-1)}\\ \vdots\\ e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-3)} &+& e_2\alpha^{2(2t-3)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-3)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-3)}\\ e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-2)} &+& e_2\alpha^{2(2t-2)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-2)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-2)}\\ e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-1)} &+& e_2\alpha^{2(2t-1)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-1)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-1)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-1)}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ さて、$\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$の左辺と右辺はイコールで結ばれているので、先ほど計算した($s_0,s_1,s_2, \cdots ,s_{2t-3},s_{2t-2},s_{2t-1}$)と右辺は一致するはずです。
それを1つ1つ書くと次のようになります。
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} S_0 &=& e_0 &+& e_1 &+& e_2 &+& \cdots &+& e_{n-3} &+& e_{n-2} &+& e_{n-1}\\ S_1 &=& e_0 &+& e_1\alpha &+& e_2\alpha^2 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{n-3} &+& e_{n-2}\alpha^{n-2} &+& e_{n-1}\alpha^{n-1}\\ S_2 &=& e_0 &+& e_1\alpha^2 &+& e_2\alpha^4 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{2(n-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{2(n-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{2(n-1)}\\ \vdots\\ S_{(2t-3)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-3)} &+& e_2\alpha^{2(2t-3)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-3)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-3)}\\ S_{(2t-2)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-2)} &+& e_2\alpha^{2(2t-2)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-2)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-2)}\\ S_{(2t-1)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-1)} &+& e_2\alpha^{2(2t-1)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-1)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-1)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-1)}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray} $$ この連立方程式は、数式が2t個あり、未知数が$(e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1})$のn個ある方程式です。
(しつこいですが、($S_0,S_1,S_2, \cdots ,S_{2t-3},S_{2t-2},S_{2t-1}$)の値はわかっています)
ちなみに、「n-2t」は実質上単語を表すことができる桁数なので、nのほうが2tよりも大きくないといけません。（そうしないと、実質上単語を表す桁数がマイナスになってしまいます・・・）
ということは、方程式の数(n)より未知数の数(2t)のほうが多くて、このままでは解けない方程式(不良設定問題)となっています。

おい！ここまで計算させといて、不良とはなんだ。不良とは！！訴えるぞ！

うるさいなぁ。安心してください。
そもそも、エラーの数は「t個」以下でした。(「t個」より多くエラーが発生した場合は、複号することができないので、あきらめましょう)
だから、実は、$(e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1})$のうち「0」じゃないものは、t個以下しかなく、そのほかは全部0なのです。
このとき、未知数は$(e_0,e_1,e_2,\cdots , e_{n-3},e_{n-2},e_{n-1})$の中のt個の値だけではなく、t個あるエラーの発生位置もわかりません。
だから、未知数は$t+t=2t$個あるんです。そして、方程式の数nは2tよりも多いです。だから、結局この方程式は解けるんですよ。・・・・とっても解くのは大変ですが・・。
この方程式の解き方は、いくつかの方法があるんですが、ここでは、そのうち代表的な解き方を1つご紹介しますね。
この解き方では、「01.エラーの発生個数」「02.エラーの発生位置」「03.エラーの内容」の3ステップでエラーの詳細を明らかにしていきます。
さて、次回は早速「01.エラーの発生個数」を求める方法を解説します。