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QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
「$(-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) $」を「余因子行列」と呼ぶ
「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる

ボスキャラと戦う

前回の解説ででてきた「化け物行列」が、「逆行列」かどうか確かめるために、次の式を計算するのが目標でしたね
$$ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,3} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{3,1} & a_{3,2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\ \end{pmatrix} $$ 激しいですね。
一気に計算するのは大変なので、まずは答えの「行列」の1行1列目から計算していきましょう。
「行列」の「掛け算」を覚えていますか？左側の「行列」の1行目と、右側の「行列」の1列目の各要素をそれぞれ「掛け算」して「足し算」するので、次のようになります。
$$ \begin{vmatrix} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} \times \ a_{1,1} + -1 \times \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} \times a_{2,1} + \begin{vmatrix} a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} \times a_{3,1} $$ おお！これってもしや、前回訓練をした「余因子展開」の逆バージョンが使えそうな感じじゃないですか？
使っちゃうとこうなります。
$$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} + -1 \times \begin{vmatrix} a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3 3} \\ 0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \end{vmatrix} $$ このとき、第2項の1行目と2行目を入れ替え、第3項の2行目と3行目の入れ替え、2行目と1行目の入れ替えを行うと・・・・(入れ替えを1回行うと、行列式の符号が逆になることを思い出してね) $$ \begin{vmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ 0 & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix}0 & a_{1,2} & a_{1,3} \\ 0 & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{vmatrix} $$ お！なんかむむむっと感じる雰囲気になってきませんか？
この行列式の足し算、どこかでみたことないかな・・・？

「行列式」の特徴のところで解説した、「ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる」というやつが使えそうですね。
列を分割することができるのであれば、逆に分割された列を1つにすることもできます。
この特徴に従えば、三つに分かれていた行列式が、みるみる一つになっていきます。
$$ \begin{vmatrix} a_{1 1} + 0 + 0 & a_{1 2} & a_{1 3} \\ 0 + a_{2 1} + 0 & a_{2 2} & a_{2 3} \\ 0 + 0 + a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3} \end{vmatrix} $$ よーーやく、化け物掛け算の答えの要素の第1行・1列の計算が終わりました。しかも、計算結果は元の3行3列の行列の行列式と同じものになるのでした。
次にさっそく、化け物掛け算の答えの要素の第2行・1列の計算をやってみましょう！

拍子抜けする・・・結果に・・・

次に「化け物行列」の「掛け算」の2行1列の答えを計算してみましょう
$$ \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} a_{2 2} & a_{2 3} \\ a_{3 2} & a_{3 3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 2} & a_{1 3} \\ a_{3 2} & a_{3 3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1 2} & a_{1 3} \\ a_{2 2} & a_{2 3} \end{vmatrix}\\ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2 1} & a_{2 3} \\ a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 3} \\ a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 3} \end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix} a_{2 1} & a_{2 2} \\ a_{3 1} & a_{3 2} \end{vmatrix} & -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{3 1} & a_{3 2} \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} \\ a_{2 1} & a_{2 2} \end{vmatrix}\\ \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} a_{1 1} & a_{1 2} & a_{1 3}\\ a_{2 1} & a_{2 2} & a_{2 3}\\ a_{3 1} & a_{3 2} & a_{3 3}\\ \end{pmatrix} $$ 2行1列の答えは次のようになります。
$$ -1 \times \begin{vmatrix} a_{2 1} & a_{2 3} \\ a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} \times \ a_{1 1} + \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 3} \\ a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} \times a_{2 1} + -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 3} \end{vmatrix} \times a_{3 1} $$ おお！これってもしや、先ほど訓練をした「余因子展開」の逆バージョンが使えそうな感じじゃないですか？って、さっきもやったから使えるにきまってますよね。。 $$ -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0 & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{2 1} & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0 & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} + -1 \times \begin{vmatrix}a_{3 1} & a_{3 1} & a_{3 3} \\ 0 & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{2 1} & a_{2 3} \end{vmatrix} $$ ちなみに、$-1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0 & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix}$の1行2列目や1行3列目の$a_{1 1}$や$a_{1 3}$は何にしても計算には問題なかったことを思い出してくださいね。後々の都合上、この部分には、左端の要素(今回の場合は$a_{1 1}$)と同じ行番号、すぐ下の要素($a_{1 1}$ならば$a_{2 1}$、$a_{1 3}$ならば$a_{2 3}$)と同じ列番号しています。

さぁ、先ほどの式をぐっと眺めて、パパッと入れ替えてみましょう！
第2項の1行目と2行目を入れ替えましょう。(1回の入れ替えなので$-1$をかける必要があります)
次に、第3項の1行目と2行目を入れ替えた後に、2行目と3行目を入れ替えましょう(2回の入れ替えなので符号は変わりません)
そうすると、結局式はつぎのようになります。
$$ -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1} & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0 & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} + -1 \times \begin{vmatrix} 0 & a_{1 1} & a_{1 3} \\ a_{2 1} & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0 & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} + -1 \times \begin{vmatrix}0 & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0 & a_{2 1} & a_{2 3}\\ a_{3 1} & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} $$ あら、これもどこかで見たことありますね。
そう、分割された列を「足し算」してまとめることができるのでした。つまり、この式は次のようになります。
$$ -1 \times \begin{vmatrix} a_{1 1}+0+0 & a_{1 1} & a_{1 3} \\ 0+a_{2 1}+0 & a_{2 1} & a_{2 3} \\ 0+0+a_{3 1} & a_{3 1} & a_{3 3} \end{vmatrix} $$ あら？あららら？この行列の1列目と2列目は同じじゃないですか！？
同じということは・・・。そう、「行列式」の特徴「全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」」を使うと値が「0」になることがわかります。
ふーー。。化け物掛け算の答えの要素の第2行・1列の計算が終わりました。こんなに苦労した結果は「0」でした・・・。早く言ってほしいですね。
次回では、ついに「逆行列」の計算をしちゃいますよ！