独極・QRコード担当の「あじな」です。
皆さん、今は「QRコード」の「エラー訂正」を解説するために「行列」の解説の中の「行列式」の計算方法を解説しているところです。目標を見失わないでくださいね。
ちなみに、私は人生の目標を完全に見失っております。。。

これまでの復習 [表示する]

1. QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
2. QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
3. 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
4. QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
5. 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
6. 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
7. 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
8. 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
9. 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
10. QRコードはバージョンが1～40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1～40)\( \times \)4\( + \)17」
11. 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
12. 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
13. 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
14. 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
15. QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
16. どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
17. QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
18. 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
19. 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
20. 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
21. 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
22. 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
23. 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
24. 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
25. 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
26. 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
27. 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
28. 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
29. 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
30. 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
31. 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
32. 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている

「行列式」の計算の前に

「行列式」の計算は、ちょっとばかりややこしいです。
何がややこしいって、行列式の計算には「並び替え」という新しい考え方が必要になるからです。
そのため、今回は行列式の計算の前に「並び替え」という概念について解説しておきましょう。

並び替え

数学の世界でいう「並び替え」とは、ものの場所を変えることを言います。
例えば、「1, 2, 3, 4」と並んでいるところを「2, 1, 3, 4」置き換えることを「並び変え」と呼ぶのです

ちなみに、「並び替え」というのは、物の位置を変えることなのですが、「あるものと、別のものの場所を交換する」と考えることもできます。
先ほどの例だと、「1」の場所と「」2の場所を交換したと考えられます。

この場所の交換のことを「置換」と呼びます(「痴漢」は犯罪です！)
数学の世界では、「並び替え」は「置換」をすることと同じことです。

例えば、「1, 2, 3, 4」を「4, 3, 2, 1」と全く逆にしてしまう「並び替え」も、「1と4を置換する」、「2と3を置換する」といったように、「置換」を何回かすれば表現できてしまいます。

どんな「並び変え」でも「置換」を何回も繰り返せば実現できることが数学的に証明されています！(その証明を書くこともできますが、退屈なので省略しますね。証明なんかしなくても、沢山置換をすればどんな並びでもできそうなのは直感的にわかりますよね)

遇置換と奇置換

先ほど解説したように、「並び替え」は複数回の「置換」によって表現することができます。

ここで突然ですが、新しい言葉を解説しましょう。
ある並び替えを実現するために「置換」を「偶数回」行うことを「遇置換」と呼び、「奇数回」行うことを「奇置換」と呼びます。

先ほどの例だと、「1, 2, 3, 4」と並んでいるところを「2, 1, 3, 4」と並び変えるのは、「1」と「2」の置換を「1回」するだけでよいので、「奇置換」です。
また、「1, 2, 3, 4」を「4, 3, 2, 1」と全く逆にしてしまう並び替えは、「1と4の場所を入れ替える(置換する)」、「2と3の場所を入れ替える(置換する)」というように「2回」の置換をするので「遇置換」です。

どんな置換のやり方をしても、「遇置換」と「奇置換」は変わらない

例えば、「1, 2, 3, 4」と並んでいるところを「2, 1, 3, 4」と並び変えるのは、「1と2の置換」・「3と4の置換」・「(もう一度)3と4の置換」というように、3回の置換で表すこともできます。

「3と4の置換を一回して、もう一度同じ置換をするなんて、結局もとに戻してるだけだからムダじゃないか！」と思う方もいらっしゃるかもしれませんが、あくまで「理論上」こういう置換を考えることもできるということです。

こんな風に、別の置換の方法をとることもできるのですが、実は「奇置換」という事実は変わりません。
というのも、「1, 2, 3, 4」と並んでいるところを「2, 1, 3, 4」と並び変える方法は、「1と2の置換」という1回の方法で表しても「奇置換」ですし、「1と2の置換」・「3と4の置換」・「(もう一度)3と4の置換」というように、3回の置換で表しても「奇置換」です。

同じ「並び替え」を実現するにも様々な「置換」の方法があるのですが、「遇置換」「奇置換」という性質はどんな「置換」の方法をとっても変わらないのです。

さぁ、次回の解説からは、この「置換」も使いながら、いよいよ行列式の計算の本質に入っていきます！