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QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。

行列式の特徴

行列式の計算方法は前回解説した通りですが、いくつかの面白い特徴がありますのでご紹介します。
ここで紹介する特徴は次の8個です。

「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ

では早速、特徴について一つずつみていきましょう。

「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ

「行列式」の計算の基本は、1列目から好きな行の数字をとってきて、2列目から好きな行(ただし、1列目で選んだものを除く)の数字をとってきて、・・・という具合に、各列から数字を1ずつ取り出し、すべての数字を掛け算するというものでした。
あとは、選んだ行番号を並べた数字列が、1,2,3・・・と並んだ数字列と比較して「奇置換」か「遇置換」でできるかを判断し、「奇置換」であれば「−」、「遇置換」であれば「＋」の符号をつけるだけでした。
これを、「行」を選ぶすべてのパターンで行い、最後に出てきた数字をすべて「足し合わせ」れば「行列式」です。
それって、前回やったじゃん！！というお声が聞こえてきますが、おっしゃる通りです。ついつい書いてしまいました。。
では、以下の「行列」の「行列式」を上記の方法で計算してみましょう。
$$ \begin{pmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{pmatrix} $$ まず、各列から好きな行の数字をとって、すべて掛け合わせます。まず、初めの選択として、たまたま1列目は3番目の数字、2列目は9番目の数字・・・、n-1列目は12番目の数字、n列目は1番目の数字を選択したとします。
このとき、選択した数字を「掛け合わせる」と、「$a_{3,1}a_{9,2}a_{2,3} \cdots a_{12,n-1}a_{1,n}$」となります。
さて、ここで、$a_{x,y}$の「$y$」に注目してください(「$y$」は、列番号を表しています)。先ほどの例では、$y$の部分が1からnまで順番に並んでいますよね。
(左の列から順番に好きな行を選んだので当たり前といえば当たり前ですが・・・)
一方、「$x$」(「$x$」は、行番号を表しています)についてですが、これは順番に並んでいないものの、1からnまで1ずつ出てくることがわかります。
(他の列で選んだ「行」は使えないので、かならず1からnまでの数字が1回ずつ出てくることになります)

ということは、先ほどの「$a_{3,1}a_{9,2}a_{2,3} \cdots a_{12,n-1}a_{1,n}$」を$x$の部分が1からnまで順番になるように並び変えることもできますよね。
こんな感じになります。「$a_{1,n}a_{2,3}a_{3,1} \cdots a_{9,2} \cdots a_{12,n-1} \cdots $」
これは、「1行目からn列目の数字をとって、2行目から3列目の数字をとって・・・・12行目からn-1列目の数字をとって」と解釈できますね。

あれ？はじめは、「列」を中心に「1列目から選んで、2列目から選んで・・・」としていたのが、気づいたら「1行目から選んで、2行目から選んで・・」に変換されていました。

このように、「列」を中心に計算したものは「行」を中心に計算したものに変換できるのです。
さらに、「列」を中心に選択するパターン数は、「$n \times n-1 \times \cdots \times 2 \times 1$」個あるのに対して、「行」を中心に選択する方法も「$n \times n-1 \times \cdots \times 2 \times 1$」個あります。(「行列式」を計算する対象の「行列」は行数と列数が同じ「正方行列」であることを想い出してくださいね。)
ということは、「列」を中心に計算した全パターンを「行」を中心に計算したものに変換すると、「行」を中心に計算した全パターンが出てくることになります。
ということは、結局、「列」を中心に計算しようが、「行」を中心に計算しようが、「行列式」の計算結果は変わらないということがわかるのです。
さぁ、「行列式」の特徴を1つクリアです！どんどんいきますよ！！