QRコードの概要

符号化（エンコード）

エラー訂正の概要

エラー訂正に必要な「行列」の解説

「行列」を使ってエラー訂正をしよう

リード・ソロモン符号とエラー訂正の方法

多項式の割り算

リード・ソロモン符号の作り方

ガロア理論と体

QRコードを作ろう

QRコードメーカー

QRコードメーカー(javascript)

独極・QRコード担当の「あじな」です。
「行列編」の最後のテーマは「ランク」です。人間社会ではどこにいっても「ランク」がつけられます。テストの点数、会社での出世争い・・・。ついには「行列」の世界まで「ランク」でございます。

これまでの復習 [表示する]

QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$ \times $4$ + $17」
「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
「$(-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列) $」を「余因子行列」と呼ぶ
「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)$\times$(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」

「連立方程式」の数と「未知数」の関係

「行列式」の意味を解説する際に、「行列式」の値が「0」なればその「行列」の要素を係数にもつ「連立方程式」は「不良設定問題」になると書きました。
ただし、もし元の「連立方程式」に「未知数」よりも多くの「連立方程式」があった場合、「連立方程式」の1個ぐらい「質の悪い」ものが混ざっていても、「未知数」を求めることができる場合があります。
そのため、厳密には、「行列式」の値が「0」になることが、そのまま「不良設定問題」になるとは限りません。
重要なのは、他の方程式の組み合わせ等でできている「質の悪い」方程式を取り除いた場合、有効な方程式が何個あるかです。その有効な方程式の数が「未知数」よりも多い場合は、「未知数」を求めることができます。
そして、それが「行列」の「ランク」と呼ばれるものなのです。

「行列」のランクの求め方

「行列」の「ランク」の意味に具体的に入る前に、「ランク」の計算方法から解説します。
説明の例として、次のような3行4列の「行列」の「ランク」を計算してみましょう。
$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1\\ 1 & 2 & 3 & -1\\ -2 & -4 & 9 & 5\\ \end{pmatrix} $$ 「行列」の「ランク」を求めるためには、ある形を目指して「行列を」変形させていきます。そのある形とは、次のような形です。(言葉で説明するのが難しく、実例を見てもらったほうがわかりやすいので・・・)
$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 9 & 5\\ 0 & 1 & 2 & -10\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} $$ さぁ、わかりましたか？・・・そんなわけないですよね。
上の行列の特徴は大きく2つあります。その1。各行に注目すると、その行の左から見ると「0」が並び、途中に「1」があって、そのあと好きな数字が並ぶという形式になっています。
(「0」がなく、いきなり「1」から始まる行や、全部が「0」の行があってもOKです)
特徴その2。下の行にいくほど「0」の数が多くなっています。
この「行列」の「0」の部分を無いものとして考えると、階段を逆さにしたような「行列」にみえませんか？
このような「行列」を「階段行列」と呼びます。(まんまやん・・・)
「行列」のランクを求めるためには、与えられた「行列」を「階段行列」に変形する必要があるのです。
どんな方法をつかって変形させてもいいの？・・・んなわけありませんよね。
あなたに許された変形方法はたった2つです。
変形方法1：「ある行」から「好きな数字をかけたほかの行」を引き算・足し算する
変形方法2：「ある行」をに好きな数字をかける
たったこれだけの変形を利用してどうやって「階段行列」にするのでしょうか。

階段行列を作る方法

では、実際にやってみましょう。
$$ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1\\ 1 & 2 & 3 & -1\\ -2 & -4 & 9 & 5\\ \end{pmatrix} $$ まず、「1番上の行($ \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 & 1 \end{pmatrix} $)」に注目します。
「変形方法2」をつかって、この行の左端の要素(この場合は「2」ですね)が1になるように数字を掛け算します。
今回の場合は、$\frac{1}{2}$ですね。すると、行列はつぎのようになります。
$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 1 & 2 & 3 & -1\\ -2 & -4 & 9 & 5\\ \end{pmatrix} $$ ここまでは簡単ですね。次に、「変形方法1」を使って、2行目以降の行の左端の要素が「0」になるように、「2行目以降の行」から「好きな数字をかけた1行目」を引き算・足し算します。
具体的には、2行目から1行目を1倍したものを引き算する。3行目から1行目を2倍したものを足し算する。ということです。すると次のような「行列」なります。
$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{1}{2} & 5 & -\frac{3}{2}\\ 0 & -1 & 5 & 6\\ \end{pmatrix} $$ これで、1行目の操作は終わりです。ちょっと、「階段行列」の雰囲気がでてきましたね。

次は2行目の操作に移ります。といっても、やることは1行目の操作とほとんど同じです。違うのは、注目する行が2行目になるということです。
2行目を左から見ていったときに、初めて「0」以外の数字になる場所(上の行だと$\frac{1}{2}$)に着目します。
そして、注目した部分が1になるように、2行目に「2」をかけます。すると行列は次のようになります。
$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 10 & -3\\ 0 & -1 & 5 & 6\\ \end{pmatrix} $$ 次に、3行目以降の行の2番目の要素が「0」になるように、「3行目以降の行」から「好きな数字をかけた2行目」を引き算・足し算します。
具体的には、3行目から2行目を1倍したものを足し算する。ということです。
そうすると、行列は次のようになります。
$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 10 & -3\\ 0 & 0 & 15 & 3\\ \end{pmatrix} $$ 次に、3行目に注目して、3行目の一番左端(0の要素を除く)の要素(この場合は15ですね)が「1」になるように適当な数字を掛け算します。
この場合、$\frac{1}{15}$をかければいいですね。そうすると、次の「行列」になります。
$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 10 & -3\\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{5}\\ \end{pmatrix} $$ はい。「階段行列」ができましたね。上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返すのです。
さて、次回は「階段行列」変形した「行列」から「ランク」を導き出す方法に迫ります！！

結局、ランクは何なのさ！！？

あら。重要なことを説明するのを忘れてました。先ほどの結果をもう一度書きます。 $$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 10 & -3\\ 0 & 0 & 15 & 3\\ \end{pmatrix} $$ この中から、行の全部が「0」になっていない行を数えます。この場合、どの行をみても全部が「0」の行はないので、「3行」ですね。だから、この行列のランクは「3」になります。例えば、階段行列を作った結果が次のようになったら、ランクは「2」です。 $$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & -2 & \frac{1}{2}\\ 0 & 1 & 10 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix} $$

結局、ランクは何を意味してるのさ！！？？

説明が長くなってくると皆さんのフラストレーションがたまるのがわかります。答えからいうと、ランクは「独立」した方程式の数を表します。ちょっとおさらいですが、行列は連立方程式の係数を並べたものとみることができました。先ほど説明した変形方法1と2を使って行列を操作した結果、「すべてが0の要素の行」が出来上がるということは、連立方程式を足し引きするとでその行を作り出すことができるということです。一方、「すべてが0の要素の行」にならなかったということは、その行は他の連立方程式を足し引きすることで作ることができない「独立」した行となります。そのため、「ランク」を計算することで、方程式を解くための有効な式の数がわかるのです。

ランクと行列式の関係

例えば、10行15列の行列から好きな列を「5」個選ぶとします。そして、各列について上から5個(5行分)の要素を取り出すことにします。すると、「5行5列」の行列を作ることができますね。(←こういう一部を抜き出した行列を「部分行列」といいます) {{部分行列の図}} この行列の行列式は「0」になるでしょうか？知らねーよ！・・・冷たいことを言わないでください。たしかに、これだけだとわけわからないでしょう。でも、もしこの行列のランクが4だったらどうでしょうか？ランクが4ということは、変形1と変形2を繰り返した結果、すべての要素が0ではない行が4つしかないということですね。ということは、先ほどの例だと「5行」取り出すことになるので、必ずすべての要素が0である行を1つ含んでしまいます。ということは・・・そう！行列式の値は「0」になるんですよね。つまり、ランクよりも大きな行・列を選んだ場合、その部分行列の行列式は「0」になります。逆に、部分行列の行列式が「0」にならない場合は、その行列の行数(もしくは列数)よりは大きいということになります！

行列編を終えて・・・

ふーーー。お疲れさまでした。 QRコードを解説し始めたのに、行列についてどっぷりと勉強するハメになってしまいました。でも、これで行列の解説は全部終わりです。次は、いよいよQRコードのエラー訂正機能についての解説に入ります！！！！