独極・QRコード担当の「あじな」です。
私は「血液型」と性格の関係を信じていないのですが、皆さんはどうですか？(都合のよいときだけ、自分は「O型」だからと思って納得しております)
今日は「行列」の血液型ともいえる「行列式」について解説します。
人間の血液型はA型とかO型とかですが、行列の血液型は「行列」の特徴を「1つの数字」になります。
例えば、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}\)という行列であれば「\(48\)」という数字がその性格を表します。
もう少し例を挙げると、\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2\end{pmatrix}\)という行列であれば「\(2\)」という数字がその性格を表します。
この数字の計算方法や、意味については今後じっくり解説していきますが、この数字のことを「行列式」と呼ぶことを覚えてください。
例えば、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}\)は3行3列の「正方行列」ですが、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \end{pmatrix}\)は2行3列であり「正方行列」ではありません。
そして、先ほど解説した「行列」の「血液型」である「行列式」は「正方行列」しか計算できません。
なんじゃそりゃ！他の行列にも人権ってもんがあるじゃろ！！「血液型」ぐらい与えてやれよ！
そんなこと言われても・・・。数学の世界ではそういうお決まりになっているんです。
皆さんは、「行列はもともと連立方程式の係数を取り出したもの」ということを覚えていますか？
そして、「行列式」はその行列が表す連立方程式が解けるかどうかという点と密接に関わります。
ぶっちゃけて言えば、「行列式」が「0」になったらその連立方程式は「解けない」のです。
なんだか、「行列式」が重大な意味を持っているように見えてきませんか？
さぁ、次の解説からは行列式の計算方法を解説していきます。
私は「血液型」と性格の関係を信じていないのですが、皆さんはどうですか？(都合のよいときだけ、自分は「O型」だからと思って納得しております)
今日は「行列」の血液型ともいえる「行列式」について解説します。
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1～40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1～40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
行列の性格を表す「行列式」
これまで解説してきた「行列」には「血液型」みたいなものがあります。人間の血液型はA型とかO型とかですが、行列の血液型は「行列」の特徴を「1つの数字」になります。
例えば、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}\)という行列であれば「\(48\)」という数字がその性格を表します。
もう少し例を挙げると、\(\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2\end{pmatrix}\)という行列であれば「\(2\)」という数字がその性格を表します。
この数字の計算方法や、意味については今後じっくり解説していきますが、この数字のことを「行列式」と呼ぶことを覚えてください。
「行列式」は正方行列にしかない！？
「行数」と「列数」が同じ行列には、「正方行列」という特別な名前がついています。例えば、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \\ 4 & -4 & 4 \end{pmatrix}\)は3行3列の「正方行列」ですが、\(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ -2 & -3 & -5 \end{pmatrix}\)は2行3列であり「正方行列」ではありません。
そして、先ほど解説した「行列」の「血液型」である「行列式」は「正方行列」しか計算できません。
なんじゃそりゃ！他の行列にも人権ってもんがあるじゃろ！！「血液型」ぐらい与えてやれよ！
そんなこと言われても・・・。数学の世界ではそういうお決まりになっているんです。
行列の性格「行列式」の意味
「行列式」の意味については、後で詳しく解説しますが、ここでは、ちょっとだけ紹介します。皆さんは、「行列はもともと連立方程式の係数を取り出したもの」ということを覚えていますか？
そして、「行列式」はその行列が表す連立方程式が解けるかどうかという点と密接に関わります。
ぶっちゃけて言えば、「行列式」が「0」になったらその連立方程式は「解けない」のです。
なんだか、「行列式」が重大な意味を持っているように見えてきませんか？
さぁ、次の解説からは行列式の計算方法を解説していきます。