独極・QRコード担当の「あじな」です。
「行列」って、数字をこねくり回しているだけな気がしてつまらい気分になるときがありますよね。
でも、後からこの意味がわかってきますので、今は頑張って乗り切ってください！
えっ？手を抜くな・・・。はい、ちゃんと解説します。
例えば、次の2つの「行列式」の結果がどうなのかということですよね？この例では、「2列目」と「3列目」を入れ替えた「行列」です。
(ちなみに、数字の並びを「( )」で括ったら「行列」という意味で、「| |」で括ったら「行列式」という意味であることを覚えていますか？)
$$ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 4 \end{vmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 5 & 4 & 9 \end{vmatrix} $$ 「列」を入れ替えただけなので、「行列式」を計算するための「掛け算」の要素は変わりません。
例えば、1つ目の「行列」で、1列目から「3」を選択し、2列目から「4」を選択し、3列目から「9」を選択した場合、\(3 \times 4 \times 9 \)となります。
一方、2番目の「行列」でも、1列目から「3」を選択し、2列目から「4」を選択し、3列目から「9」を選択した場合、\(3 \times 4 \times 9 \)と同じになります。
でも、「並び変え方」はかわってしまいます。
というのも、上の例だと、1番目の「行列」から「3」「4」「9」を選択する場合、「(1行目,3行目,2行目)」という「並び」の選択なので、「奇置換」です。(つまり、「掛け算」の結果に「-」をつけます)
(具体的には、\(-1 \ times 3 \times 4 \times 9 =-108\)となります) 一方、2番目の「行列」から「3」「4」「9」を選択する場合、(1行目,2行目,3行目)という「並び」の選択なので「遇置換」です。(つまり、「掛け算」の結果に「+」をつけます)
(具体的には、\(+1 \ times 3 \times 4 \times 9 =+108\)となります)
まったく、正負が逆ですね。
これは、「列」を入れ替えたので2番目「行列」は、1番目の「行列」から1回分「置換」が多いのです。(つまり、1番目の「行列」における「遇置換」のパターンは、2番目の「行列」における「奇置換」のパターンになるし、逆も言えます)。
このことは、「行列式」を計算するために必要な全てのパターンで同じことが言えるため、結局、「列」を入れ替えると「行列式」の値の符号が変わります。
また、これは、「行列」の「行」を入れ替えた場合でも、同じ事象が発生します。
うーん。「行列式」は奥が深いですねぇ。
「行列」って、数字をこねくり回しているだけな気がしてつまらい気分になるときがありますよね。
でも、後からこの意味がわかってきますので、今は頑張って乗り切ってください！
これまでの復習 [表示する]
- QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
- QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
- 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
- QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
- 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
- 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
- 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「\(4 \times 8=32\)」種類のパターンがある
- 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
- 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
- QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)\( \times \)4\( + \)17」
- 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
- 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
- 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
- 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
- QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
- どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
- QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
- 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
- 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
- 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
- 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
- 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
- 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
- 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
- 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
- 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
- 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
- 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
- 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
- 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
- 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
- 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
- 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
- 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
- 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
- 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
なーんとなく、そうなりそうじゃないですか？えっ？手を抜くな・・・。はい、ちゃんと解説します。
例えば、次の2つの「行列式」の結果がどうなのかということですよね？この例では、「2列目」と「3列目」を入れ替えた「行列」です。
(ちなみに、数字の並びを「( )」で括ったら「行列」という意味で、「| |」で括ったら「行列式」という意味であることを覚えていますか？)
$$ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 2 \\ 1 & 7 & 4 \\ 5 & 9 & 4 \end{vmatrix} $$ $$ \begin{vmatrix} 3 & 2 & 5 \\ 1 & 4 & 7 \\ 5 & 4 & 9 \end{vmatrix} $$ 「列」を入れ替えただけなので、「行列式」を計算するための「掛け算」の要素は変わりません。
例えば、1つ目の「行列」で、1列目から「3」を選択し、2列目から「4」を選択し、3列目から「9」を選択した場合、\(3 \times 4 \times 9 \)となります。
一方、2番目の「行列」でも、1列目から「3」を選択し、2列目から「4」を選択し、3列目から「9」を選択した場合、\(3 \times 4 \times 9 \)と同じになります。
でも、「並び変え方」はかわってしまいます。
というのも、上の例だと、1番目の「行列」から「3」「4」「9」を選択する場合、「(1行目,3行目,2行目)」という「並び」の選択なので、「奇置換」です。(つまり、「掛け算」の結果に「-」をつけます)
(具体的には、\(-1 \ times 3 \times 4 \times 9 =-108\)となります) 一方、2番目の「行列」から「3」「4」「9」を選択する場合、(1行目,2行目,3行目)という「並び」の選択なので「遇置換」です。(つまり、「掛け算」の結果に「+」をつけます)
(具体的には、\(+1 \ times 3 \times 4 \times 9 =+108\)となります)
まったく、正負が逆ですね。
これは、「列」を入れ替えたので2番目「行列」は、1番目の「行列」から1回分「置換」が多いのです。(つまり、1番目の「行列」における「遇置換」のパターンは、2番目の「行列」における「奇置換」のパターンになるし、逆も言えます)。
このことは、「行列式」を計算するために必要な全てのパターンで同じことが言えるため、結局、「列」を入れ替えると「行列式」の値の符号が変わります。
また、これは、「行列」の「行」を入れ替えた場合でも、同じ事象が発生します。
うーん。「行列式」は奥が深いですねぇ。