独極・QRコード担当の「あじな」です。
皆さんは「つまようじ」で東京タワーとかを作る趣味とかあります？まぁ、普通無いですよね。私もまったくありません。
出来上がるまですごい時間がかかりそうなのに、よくモチベーションを維持しながらできるものですよね。本当、尊敬します。
ひるがえって、QRコードの解説はというと・・・、なかなかモチベーションを絞り出すのに苦労しております。。。

これまでの復習 [表示する]

1. QRコードは株式会社デンソーが作ったもので、スマホや携帯で読み取れる
2. QRコードは「小さな白と黒の四角でできている」「多少汚れても大丈夫」という特徴がある
3. 白黒の四角を使うのは、コンピュータにわかりやすくさせるため
4. QRコードは「機能パターン」と「符号化領域」で出来上がっている
5. 「機能パターン」は、「クワイエットゾーン」「位置検出パターン」「位置検出パターンの分離パターン」「タイミングパターン」「位置合わせパターン」の5種類
6. 「符号化領域」は「形式情報」「型番情報」「データ領域」の3種類
7. 「形式情報」は「エラー訂正レベル」と「マスクパターン参照子」で決まり、「$4 \times 8=32$」種類のパターンがある
8. 「型番情報」は「QRコードのバージョンによって決まり、40種類ある
9. 「データ領域」は「データ」と「エラー訂正情報」で出来上がる
10. QRコードはバージョンが1〜40まである。一辺の大きさは、「QRコードのバージョン(1〜40)$\times$4$+$17」
11. 「エラー訂正レベル」は「L(7%の汚れまで)」「M(15%の汚れまで)」「Q(25%の汚れまで)」「H(30%の汚れまで)」の4種類ある。
12. 「エラー訂正レベル」が「L」だと「QRコード」で表現できるデータの量は最大で、「H」のときに最小になる。
13. 「1bit」とは白・黒、1・0のような2種類の情報を表すことができる能力のことで、文字を増やすと「2bit(4種類)」「3bit(8種類)」と表現できる種類が増える
14. 日常の言葉を「エンコード」して「コード(符号)」に置き換え、「コード(符号)」を「デコード」して日常の言葉に戻す
15. QRコードの「エンコード」方式は「数字モード」「英数字モード」「漢字モード」「8bitモード」の4種類
16. どの「エンコード」方式でも、データは「モード指示子」＋「文字数指示子」＋「データ」＋「終端パターン」＋「埋め草ビット」＋「埋め草ワード」となる
17. QRコードには「白」と「黒」を読み間違えても、元の情報を復元する「エラー訂正」能力が備わっている
18. 「エラー訂正」は読み取れた(聞き取れた)言葉から最も近い「ありえそうな単語」を推測すること
19. 「エラー訂正力が強い」ということは、「あえて使っていない単語が多い」ということと同じで、効率性は悪い
20. 1,0でできている符号では「ハミング距離(2つの符号間で1と0が異なる箇所の個数)」があり、符号間で最も「ハミング距離」が小さいものを「最小距離」と呼ぶ
21. 使える「単語」を制限すると「最小距離」は大きくなる
22. 「最小距離」の半分までのエラーであれば訂正することができる
23. 「単語」を「符号化」したものに、適当な「1」や「0」を後ろにつけると「最小距離」が大きい「エラー訂正機能付符号」になる
24. 「エラー訂正機能付符号」を作る際は「符号」に「行列(生成行列)」を掛け算する。
25. 「QRコード」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれる方法で「エラー訂正機能付符号」を作る
26. 「行列」は数字を並べただけのもので、もともとは「連立方程式」の係数だけ抜き取ってならべたもの
27. 「行列」の「足し算」「引き算」は各「行列」の要素同士を「足し算」「引き算」したもの
28. 「行列」の「掛け算」は、左の「行列」から「行」を取り出し、右の「行列」から「列」を取り出して、それぞれの要素を掛け算して足し合わせる
29. 左の「行列」の大きさが「a行b列」で、右の「行列」の大きさが「b行c列」だった時、「掛け算」結果の行列は「a行c列」になる
30. 「行列」の「掛け算」は順番を変えると結果も変わる
31. 「掛け算」しても結果を変えない行列を「単位行列」と呼び、「掛け算」すると結果が「単位行列」になる行列を「逆行列」と呼ぶ
32. 「行列」の特徴を表している「数字」を「行列式」と呼ぶ。「行列式」は「正方行列」だけが持っている
33. 「並び替え」は「置換」によってい表すことができ、偶数回の「置換」でできる「並び替え」を「遇置換」、奇数回の「置換」でできる「並び替え」を「奇置換」という
34. 「行列式」は各列から数字を選択し「掛け算」し、符号をつけた(「遇置換→(+)」「奇置換→(-)」たものを全ての選択パターンで足し合わせる。
35. 「列」で計算しても、「行」で計算しても結果は同じ
36. 「全てが0の列」、もしくは、「すべてが0の行」があれば「行列式」は「0」
37. 「列」を入れ替えたら「行列式」の符号が変わる。「行」を入れ替えても「行列式」の符号が変わる。
38. 全く同じ「行」が2個以上あれば「行列式」は「0」。全く同じ「列」が2個以上あっても「行列式」は「0」
39. ある「行列」の「行列式」は、その「行列」の1つの「列」(もしくは「行」)を2つに分割して、2つの「行列」の「行列式」の「足し算」にすることができる
40. ある「行」に違う「行」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。ある「列」に違う「列」を「足し引き」しても、「行列式」の結果は変わらない。
41. ある「行(もしくは列)」を「定数倍」した「行列」の「行列式」は、「定数倍」する前の「行列」の「行列式」に定数をかけたものと同じ
42. 2つの「行列」を「掛け算」した結果の「行列」の「行列式」と、それぞれの「行列」の「行列式」を「掛け算」した結果は同じ((\ \left| \mathb{A} \times \mathb{B} \right| = \left| \mathb{A} \right| \times \left| \mathb{B} \right| \))
43. 「連立方程式」の係数を抜き出した「行列」の「行列式」の値が「0」になるということは、元の「連立方程式」が「不良設定問題」である
44. 「逆行列」は「正方行列」かつ「行列式」の値が「0」でない「行列」だけに存在する
45. 「$(-1)^{(i+j)} \times (元の行列からi行目とj列目を取り去った行列)$」を「余因子行列」と呼ぶ
46. 「行列式」は「余因子展開」を使うと、1サイズ小さい「行列」の「行列式」の「足し算」に展開することができる
47. 「逆行列」は「(元の「行列」の「行列式」の逆数)$\times$(x行・y列目の要素が＜元の行列のy行・x列目を取り除いた「余因子行列」の「行列式」＞となる「行列」)」
48. 「階段行列」は上の行から、左側(0の部分を除きます)を1にして、その行より下の行の左側が0になるように適当な数字をかけて足し算・引き算するというのを繰り返して作る
49. 「ランク」はその「行列」の中の独立した行(または列)の数で、「連立方程式」の係数を「行列」にした場合、未知数の数より「ランク」が低ければ「不良設定問題」となる
50. 「符号」のサイズが1行n列、「エラー訂正付符号」のサイズが1行m列のとき、「生成行列」はn行m列になる
51. 「QRコード」で利用される「エラー訂正機能付符号」は「リード・ソロモン符号」と呼ばれるもの
52. 「検査行列」を「エラー訂正機能付符号」に「掛け算」すると結果は「ゼロ行列」になる。逆に「ゼロ行列」にならないと、読み取った「エラー訂正機能付符号」が間違っている
53. エラー訂正機能のスペックは「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」、「k(実質的に単語を表現する桁数)」、「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」の3つ
54. エラー訂正機能のスペックの「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)」は「検査行列」の行数と同じ
55. エラー訂正機能のスペックの「k(「実質的に単語を表現する桁数)」は「検査行列」をn行m列だとすると、「n-(検査行列のランク)」となる
56. 同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」を2つ用意すると、それらを「引き算」した結果も同じ仲間の「エラー訂正機能付符号」の1つになる
57. 「エラー訂正機能付符号」軍団の中の「最小距離」は、その「エラー訂正機能付符号」軍団の中で最も小さい「ハミング重み」と同じになる
58. エラー訂正機能のスペックの「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」は「(「検査行列」の「ランク」)+1」以上となる
59. 「シングルトン限界式」は「d(「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」)」が「n(「エラー訂正機能付符号」の「長さ」)-k(実質的に単語を表現する桁数)+1」以下になること
60. リード・ソロモンの「検査行列」は、x行y列の要素が$\alpha^{(x-1)(y-1)}$で、xはn行まで、yは2t列までの「行列」
61. リード・ソロモンの「検査行列」のランクは2t
62. リード・ソロモンの「検査行列」の特徴は、「エラー訂正機能付符号」の「長さ」はn、実質的に単語を表現する桁数)はn-2t、「エラー訂正機能付符号」の間の「最小距離」は2t+1
63. 「ヴァンデルモンド行列」の行列式は、行列の要素に同じ値のものがなければ「0」にはならない。
64. 受信符号に検査行列を掛け算した結果は、発生したエラーに検査行列を掛けたものと同じになる、「$\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$」
65. 「$\boldsymbol{Y} \times \boldsymbol{H} = \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$」を展開すると、方程式の数がn個、未知数が2t個の連立方程式になる
66. リード・ソロモン符号の解き方は、「01.エラーの発生個数」「02.エラーの発生位置」「03.エラーの内容」の3ステップ
67. $\begin{vmatrix} S_0 & S_1 & \ldots & S_{j-1} \\ S_1 & S_2 & \ldots & S_{j} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ S_{j-1} & S_{j} & \ldots & S_{ 2j-2 } \\ \end{vmatrix}$という行列式の$j$の値を$t$から1つずつ減らしていき、初めて行列式の値が「0」以外になった時の$j$がエラーの発生個数になる。

このまま調子・・・いや、勢いにのってエラーの位置を調べるぞ！

さぁ、エラーの発生個数がわかったので、次はエラーの発生位置について調べていきましょう。
回りくどい？いやいや、急がば回れです。

って、発生位置をどうやって調べたらいいのでしょうか。
例えば、ある魔法の関数$f(x)$があって、この関数の$x$に$(1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{(n-3)},\alpha^{(n-2)},\alpha^{(n-1)})$を順番に入れていったときに、エラーが発生している位置に対応する$\alpha$を入力したときだけ答えが「0」になるような都合のよい話があればいいですよね。
だって、$\alpha^1$〜$\alpha^{(n-1)}$は検査行列に出てくる数字なので、私たちは具体的に知っています。
それを関数に入れて計算したときに、例えば、$\alpha^5$を入れたときに$f(x)$の値が「0」になったとしたら、「6番目にエラーが発生している！」とわかっちゃうんですから。こんな便利な関数があればいうことなしです。
でも、ドラえもーーーんと叫んだところで、誰かがそんな便利な関数を用意してくれるわけではありません。ええい！ないのなら、作ってしまえ、ホーホケキョ。

じゃかじゃじゃん！エラー位置がわかる関数！！

そこで、こんな数式を考えてみました。(もちろん、考えたのは私ではないですが・・・)
$$f(z) = w_{j}z^{j} + w_{(j-1)}z^{(j-1)} + w_{(j-2)}z^{(j-2)} + \cdots + w_{2}z^{2} + w_{1}z^{1}+1$$ まず、エラーの数は$j$個あるので、$f(z)$の解もj個になる必要がありますが、この式は$z^j$が$z$の最大次数となっているので、最大$j$個の解をもっています。
(実はこのことは「代数学の基本定理」と呼ばれることで証明が必要なのですが、高校数学でも当たり前のように使われている気がするので、ここでは証明をさぼっております・・・)
さて、この式に現れる$w_{1}$〜$w_{j}$をうまく操って、ちょうどエラーが発生している位置に対応する$\alpha$(つまり、$\alpha^{p_0},\alpha^{p_1},\cdots ,\alpha^{p_{j-2}},\alpha^{p_{j-1}}$を入力したときだけ「0]を出力するように調整してみましょう。
・・・・と思ったのですが、大人の都合により、エラーが発生している位置に対応する$\alpha$の「逆数」(つまり、$\alpha^{-p_0},\alpha^{-p_1},\cdots ,\alpha^{-p_{j-2}},\alpha^{-p_{j-1}}$を入力したときだけ「0]を出力するように調整してみましょう。
($\alpha^{p_0}$の値がわかっているんだから、その逆数の値を求めるのも簡単でしょ！！だから逆数入れてもいいでしょ！！！！（←なぜか、逆切れ）)

ここで、$w_{1}$〜$w_{j}$をうまく見つけるために、ちょっとふざけた数式を書いてみましょう。こんなのです。まさに、「ザ・天下り」ですみませんねぇ。
ちなみに、突然でてくる$i$は、$0 \leqq i \leqq j-1$の値をとる数値です。$j$はエラーの個数でしたね。
$$e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j)} f(\alpha^{-p_0})+e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j)} f(\alpha^{-p_1})+ \cdots + e_{p_{j-2}} \alpha^{p_{j-2}(i+j)} f(\alpha^{-p_{j-2}}) + e_{p_{j-1}} \alpha^{p_{j-1}(i+j)} f(\alpha^{-p_{j-1}})$$ また、意味不明な行動を・・・と言わず、もう少しお付き合いくださいん。

まず、この式で注目してほしいのは、この結果は「0」になるということです。
だって、すべての項に「$f(\alpha^{-p_?})$」が掛け算してありますよね。「$f(z)$」は「$\alpha^{-p_?}$」を入れると「0」になるように設計したことになっているので、当然といえば当然です。
では、この解説シリーズでお得意の強引な方法で、この式を展開していきましょう。(式の展開を読んでいくのはしんどいことはよくよく承知しております。でも、書く方もそれなりにしんどいのでおあいこということでゆるしてくださいませませ。)
まずは、$f(z)$の部分を、先ほど紹介した内容に書き換えていきます。それだけでも、一苦労です。
$$\begin{eqnarray} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j)} ( w_{j} \alpha^{-p_0j} &+& w_{(j-1)} \alpha^{-p_0(j-1)} &+& w_{(j-2)} \alpha^{-p_0(j-2)} &+& \cdots &+& w_{2} \alpha^{-2p_0} &+& w_{1} \alpha^{-p_0} &+& 1) +\\ e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j)} ( w_{j} \alpha^{-p_1j} &+& w_{(j-1)} \alpha^{-p_1(j-1)} &+& w_{(j-2)} \alpha^{-p_1(j-2)} &+& \cdots &+& w_{2} \alpha^{-2p_1} &+& w_{1} \alpha^{-p_1} &+& 1) +\\ \jdots\\ e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j)} ( w_{j} \alpha^{-p_{(j-2)}j} &+& w_{(j-1)} \alpha^{-p_{(j-2)}(j-1)} &+& w_{(j-2)} \alpha^{-p_{(j-2)}(j-2)} &+& \cdots &+& w_{2} \alpha^{-2p_{(j-2)}} &+& w_{1} \alpha^{-p_{(j-2)}} &+& 1) +\\ e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j)} ( w_{j} \alpha^{-p_{(j-1)}j} &+& w_{(j-1)} \alpha^{-p_{(j-1)}(j-1)} &+& w_{(j-2)} \alpha^{-p_{(j-1)}(j-2)} &+& \cdots &+& w_{2} \alpha^{-2p_{(j-1)}} &+& w_{1} \alpha^{-p_{(j-1)}} &+& 1) \end{eqnarray}$$ さらに頑張ってこれを展開すると・・・(カッコを展開して、$\alpha$の次数を整理して・・・面倒くさいけど単純なことをやっているだけです。)
$$\begin{eqnarray} w_{j} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-j)} &+& w_{(j-1)} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-(j-1))} &+& w_{(j-2)} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-(j-2))} &+& \cdots &+& w_{2} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-2)} &+& w_{1} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-1)} &+& e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j)} +\\ w_{j} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-j)} &+& w_{(j-1)} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-(j-1))} &+& w_{(j-2)} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-(j-2))} &+& \cdots &+& w_{2} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-2)} &+& w_{1} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-1)} &+& e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j)} +\\ \jdots\\ w_{j} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-j)} &+& w_{(j-1)} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-(j-1))} &+& w_{(j-2)} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-(j-2))} &+& \cdots &+& w_{2} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-2)} &+& w_{1} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-1)} &+& e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j)} +\\ w_{j} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-j)} &+& w_{(j-1)} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-(j-1))} &+& w_{(j-2)} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-(j-2))} &+& \cdots &+& w_{2} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-2)} &+& w_{1} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-1)} &+& e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j)} \end{eqnarray}$$ さてと・・・。また、やらかした感がでてますね・・・。途方に暮れるような数式ですが、ちょっとこの見方を変えて、この数式を縦方向に見てみましょう。
各行の「第1項」だけを抜き出して足すと、次のようになります。
$$w_{j} e_{p_0} \alpha^{p_0(i+j-j)}+w_{j} e_{p_1} \alpha^{p_1(i+j-j)}+ \cdots + w_{j} e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}(i+j-j)} + w_{j} e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}(i+j-j)}$$ これを$w_{v}$で括って、$\alpha$の次数を整理すると・・・
$$w_{v}(e_{p_0} \alpha^{p_0i}+e_{p_1} \alpha^{p_1i}+ \cdots + e_{p_{(j-2)}} \alpha^{p_{(j-2)}i} + e_{p_{(j-1)}} \alpha^{p_{(j-1)}i}$$ これって、つまり$w_{v}S_{i}$のことですよね。
($S_{i}$ってなんだよ！・・・っていうかわいい忘れん坊さんはいますか？($S_{i}$は受信符号$\boldsymbol{Y}$に$\boldsymbol{H}$を掛けた結果です。（エラー$\boldsymbol{E}$に$\boldsymbol{H}$を掛けた結果でもあるので、次のように書けます）
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} S_0 &=& e_0 &+& e_1 &+& e_2 &+& \cdots &+& e_{n-3} &+& e_{n-2} &+& e_{n-1}\\ S_1 &=& e_0 &+& e_1\alpha &+& e_2\alpha^2 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{n-3} &+& e_{n-2}\alpha^{n-2} &+& e_{n-1}\alpha^{n-1}\\ S_2 &=& e_0 &+& e_1\alpha^2 &+& e_2\alpha^4 &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{2(n-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{2(n-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{2(n-1)}\\ \vdots\\ S_{(2t-3)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-3)} &+& e_2\alpha^{2(2t-3)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-3)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-3)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-3)}\\ S_{(2t-2)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-2)} &+& e_2\alpha^{2(2t-2)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-2)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-2)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-2)}\\ S_{(2t-1)} &=& e_0 &+& e_1\alpha^{(2t-1)} &+& e_2\alpha^{2(2t-1)} &+& \cdots &+& e_{n-3}\alpha^{(n-3)(2t-1)} &+& e_{n-2}\alpha^{(n-2)(2t-1)} &+& e_{n-1}\alpha^{(n-1)(2t-1)}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ そして、エラーが発生している項以外は「0」になるので、次のように書くことができたのでした。
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} S_0 &=& e_{ p_0 } &+& e_{ p_1 } &+& e_{ p_2 } &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\\ S_1 &=& e_{ p_0 }\alpha^{ p_0 } &+& e_{ p_1 }\alpha^{ p_1 } &+& e_{ p_2 }\alpha^{ p_2 } &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}}\alpha^{p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\alpha^{p_{j-1}}\\ S_2 &=& e_{ p_0 }\alpha^{ 2 p_0 } &+& e_{ p_1 }\alpha^{ 2 p_1 } &+& e_{ p_2 }\alpha^{ 2 p_2 } &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}}\alpha^{ 2 p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\alpha^{ 2 p_{j-1}}\\ \vdots\\ S_{(2t-3)} &=& e_{ p_0 }\alpha^{ (2t-3)p_0 } &+& e_{ p_1 }\alpha^{(2t-3)p_1} &+& e_{ p_2 }\alpha^{(2t-3)p_2} &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}}\alpha^{(2t-3)p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\alpha^{(2t-3)p_{j-1}}\\ S_{(2t-2)} &=& e_{ p_0 }\alpha^{ (2t-2)p_0 } &+& e_{ p_1 }\alpha^{(2t-2)p_1} &+& e_{ p_2 }\alpha^{(2t-2)p_2} &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}}\alpha^{(2t-2)p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\alpha^{(2t-2)p_{j-1}}\\ S_{(2t-1)} &=& e_{ p_0 }\alpha^{ (2t-1)p_0 } &+& e_{ p_1 }\alpha^{(2t-1)p_1} &+& e_{ p_2 }\alpha^{(2t-1)p_2} &+& \cdots &+& e_{p_{j-2}}\alpha^{(2t-1)p_{j-2}} &+& e_{p_{j-1}}\alpha^{(2t-1)p_{j-1}}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$ 想い出しました？
なので、先ほどの式は、$w_{v}S_{i}$と書くことができたのでした。めでたし、めでたし。
同様に、第2項目だけをとって足し算すると、$w_{(j-1)}S_{i+1}$となります。
第3項は$w_{(j-2)}S_{i+2}$となり、第$j-1$項はw_{2}$S_{(i+j-2)}$、第$j$項は$w_{1}S_{(i+j-1)}$となります。そして、最後の$j+1$項は$S_{(i+j)}$になります。
このことを踏まえて、先ほどの式を書き直すと、次のようになります。
$$w_{j}S_{i}+w_{(j-1)}S_{i+1}+w_{(j+2)}S_{i-2}+ \cdots + w_{2}S_{(i+j-2)} + w_{1}S_{(i+j-1)} + S_{(i+j)}$$ そして、この式の結果は「0」でしたよね。初めに確認しましたよね！！！忘れてませんよね？なので、こうなります。
$$w_{j}S_{i}+w_{(j-1)}S_{i+1}+w_{(j+2)}S_{i-2}+ \cdots + w_{2}S_{(i+j-2)} + w_{1}S_{(i+j-1)} + S_{(i+j)}=0$$ そして、しれっと最後の項を右辺に移項すると、こうなります。
$$w_{j}S_{i}+w_{(j-1)}S_{i+1}+w_{(j-2)}S_{i+2}+ \cdots + w_{2}S_{(i+j-2)} + w_{1}S_{(i+j-1)}= - S_{(i+j)}$$ そして、そして、ここに現れる$i$は、$0 \leqq i \leqq j-1$だったので、上の式はこんな感じの$j$個の連立方程式になります。
$$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} w_{j}S_{0} &+& w_{(j-1)}S_{1} &+& w_{(j-2)}S_{2} &+& \cdots &+& w_{2}S_{(j-2)} &+& w_{1}S_{(j-1)} &=& - S_{(j)}\\ w_{j}S_{1} &+& w_{(j-1)}S_{2} &+& w_{(j-2)}S_{3} &+& \cdots &+& w_{2}S_{(j-1)} &+& w_{1}S_{(j)} &=& - S_{(j + 1)}\\ \jdots\\ w_{j}S_{(j-2)} &+& w_{(j-1)}S_{(j-1)} &+& w_{(j-2)}S_{j} &+& \cdots &+& w_{2}S_{(2j-4)} &+& w_{1}S_{(2j-3)} &=& - S_{(2j-2)}\\ w_{j}S_{(j-1)} &+& w_{(j-1)}S_{j} &+& w_{(j-2)}S_{(j+1)} &+& \cdots &+& w_{2}S_{(2j-3)} &+& w_{1}S_{(2j-2)} &=& - S_{(2j-1)}\\ \end{array} \right. \end{eqnarray}$$

結果はシンプルに！

仕上げに、これを行列表現で書くとこうなります。（シンプルになりました！シンプルイズベスト）
$$\begin{pmatrix} w_{j} & w_{(j-1)} & w_{(j-2)} & \cdots & w{2} & w{1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} S_0 & S_1 & \ldots & S_{j-1} \\ S_1 & S_2 & \ldots & S_{j} \\ \jdots & \jdots & \ddots & \jdots \\ S_{j-1} & S_{j} & \ldots & S_{ 2j-2 } \\ \end{pmatrix} = -1 \times \begin{pmatrix} S_{j} \\ S_{j+1} \\ \vdots \\ S_{(2j-2)} \\ S_{(2j-1)} \end{pmatrix}$$ この行列表現の第1項目の行列は、エラーの個数を調べたときに出てきた行列と同じです。
そして、$j$が正しくエラーの個数を表しているときは、この行列の行列式は「0」以外の数字になるということもわかっていますよね。ということは、この行列のランクは$j$ということになりますよね！
つまり、先ほどの$j$個の方程式に「無駄なものはない」ことになります。ということはこの連立方程式を解くことによって、ちょうど$j$個あった、未知数($w_1$〜$w_j$)を求めることができるんです！
そして、そして、($w_1$〜$w_v$)が決まったら、$f(z)$の関数をを具体的に決めることができます。$f(z)$は次の形をしていたことを想い出してくださいね。
$$f(z) = w_{j}z^{j} + w_{(j-1)}z^{(j-1)} + w_{(j-2)}z^{(j-2)} + \cdots + w_{2}z^{2} + w_{1}z^{1}+1$$ この$f(z)$は、$(1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{(n-3)},\alpha^{(n-2)},\alpha^{(n-1)})$の「逆数」を順番に入れていったときに、ちょうどエラーが発生している箇所に対応する$\alpha$を入れると、0になるという魔法の関数でした。
今は、具体的に($w_1$〜$w_j$)がわかっているので、実際に$(1,\alpha,\alpha^2,\cdots,\alpha^{(n-3)},\alpha^{(n-2)},\alpha^{(n-1)})$の「逆数」を順番に入れて値を計算することができます。
ということは、エラーの発生位置を知ることができるようになったのです！！！！
受信符号$\boldsymbol{Y}$と検査行列の$\boldsymbol{H}$だけから、エラーの発生個数や発生位置がわかるなんて・・・本当に魔法にかかったみたいな気分じゃないですか？
そして、次回はついに「エラーの内容」についてです！！！